有向图强连通分量之Tarjan算法

出处https://www.byvoid.com/zhs/blog/scc-tarjan

[有向图强连通分量]

在有向图G中，如果两个顶点间至少存在一条路径，称两个顶点强连通(strongly connected)。如果有向图G的每两个顶点都强连通，称G是一个强连通图。非强连通图有向图的极大强连通子图，称为强连通分量(strongly connected components)。

下图中，子图{1,2,3,4}为一个强连通分量，因为顶点1,2,3,4两两可达。{5},{6}也分别是两个强连通分量。

直接根据定义，用双向遍历取交集的方法求强连通分量，时间复杂度为O(N^2+M)。更好的方法是Kosaraju算法或Tarjan算法，两者的时间复杂度都是O(N+M)。本文介绍的是Tarjan算法。

[Tarjan算法]

Tarjan算法是基于对图深度优先搜索的算法，每个强连通分量为搜索树中的一棵子树。搜索时，把当前搜索树中未处理的节点加入一个堆栈，回溯时可以判断栈顶到栈中的节点是否为一个强连通分量。

定义DFN(u)为节点u搜索的次序编号(时间戳)，Low(u)为u或u的子树能够追溯到的最早的栈中节点的次序号。由定义可以得出，

Low(u)=Min
{DFN(u),Low(v),(u,v)为树枝边，u为v的父节点DFN(v),(u,v)为指向栈中节点的后向边(非横叉边)
}

当DFN(u)=Low(u)时，以u为根的搜索子树上所有节点是一个强连通分量。

算法伪代码如下

tarjan(u)
{DFN[u]=Low[u]=++Index                      // 为节点u设定次序编号和Low初值Stack.push(u)                              // 将节点u压入栈中for each (u, v) in E                       // 枚举每一条边if (v is not visted)               // 如果节点v未被访问过tarjan(v)                  // 继续向下找Low[u] = min(Low[u], Low[v])else if (v in S)                   // 如果节点v还在栈内Low[u] = min(Low[u], DFN[v])if (DFN[u] == Low[u])                      // 如果节点u是强连通分量的根repeatv = S.pop                  // 将v退栈，为该强连通分量中一个顶点print vuntil (u== v)
}

接下来是对算法流程的演示。

从节点1开始DFS，把遍历到的节点加入栈中。搜索到节点u=6时，DFN[6]=LOW[6]，找到了一个强连通分量。退栈到u=v为止，{6}为一个强连通分量。

返回节点5，发现DFN[5]=LOW[5]，退栈后{5}为一个强连通分量。

返回节点3，继续搜索到节点4，把4加入堆栈。发现节点4向节点1有后向边，节点1还在栈中，所以LOW[4]=1。节点6已经出栈，(4,6)是横叉边，返回3，(3,4)为树枝边，所以LOW[3]=LOW[4]=1。

继续回到节点1，最后访问节点2。访问边(2,4)，4还在栈中，所以LOW[2]=DFN[4]=5。返回1后，发现DFN[1]=LOW[1]，把栈中节点全部取出，组成一个连通分量{1,3,4,2}。

至此，算法结束。经过该算法，求出了图中全部的三个强连通分量{1,3,4,2},{5},{6}。

可以发现，运行Tarjan算法的过程中，每个顶点都被访问了一次，且只进出了一次堆栈，每条边也只被访问了一次，所以该算法的时间复杂度为O(N+M)。

求有向图的强连通分量还有一个强有力的算法，为Kosaraju算法。Kosaraju是基于对有向图及其逆图两次DFS的方法，其时间复杂度也是O(N+M)。与Trajan算法相比，Kosaraju算法可能会稍微更直观一些。但是Tarjan只用对原图进行一次DFS，不用建立逆图，更简洁。在实际的测试中，Tarjan算法的运行效率也比Kosaraju算法高30%左右。此外，该Tarjan算法与求无向图的双连通分量(割点、桥)的Tarjan算法也有着很深的联系。学习该Tarjan算法，也有助于深入理解求双连通分量的Tarjan算法，两者可以类比、组合理解。

求有向图的强连通分量的Tarjan算法是以其发明者Robert Tarjan命名的。Robert Tarjan还发明了求双连通分量的Tarjan算法，以及求最近公共祖先的离线Tarjan算法，在此对Tarjan表示崇高的敬意。

附：tarjan算法的C++程序（模板代码）

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<cmath>
#include<algorithm>
#include<queue>
#define memset(a,v)  memset(a,v,sizeof(a))
#define eps 1.0E-8
using namespace std;
const int MAXL(5*1e4);
const int INF(0x3f3f3f3f);
const int mod(1e9+7);
typedef long long int LL;
struct node
{int to,next;
} edge[MAXL+50];
int head[MAXL+50];
int DFN[MAXL+50];//节点u搜索的序号（时间戳）
int LOW[MAXL+50];//u或u的子树能够追溯到的最早的栈中节点的序号(时间戳)
int Belong[MAXL+50];//n：点的个数；m：边的条数
int instack[MAXL+50];//标记点是否在栈中
int stack[MAXL+50];
int top,Bcnt;//top:栈的顶点标记 Bcnt:强连通分量的个数
int index;//序号（时间戳）
int cnt=0;
int n,m;
void addedge(int u,int v)
{edge[cnt].to=v;edge[cnt].next=head[u];head[u]=cnt++;
}
void Tarjan(int u)
{DFN[u]=LOW[u]=++index;instack[u]=true;stack[++top]=u;for(int i=head[u]; ~i; i=edge[i].next){int v=edge[i].to;if( !DFN[v] ){Tarjan(v);LOW[u]=min(LOW[u],LOW[v]);}else if( instack[v] && DFN[v]<DFN[u])LOW[u]=DFN[v];}if( DFN[u]==LOW[u]){int temp;Bcnt++;do{temp=stack[top--];instack[temp]=false;Belong[temp]=Bcnt;}while(temp!=u);}}
void solve()
{for(int i=1; i<=n; i++)if(!DFN[i])Tarjan(i);
}
void init()
{cnt=top=Bcnt=index=0;;memset(head,-1);memset(DFN,0);memset(LOW,0);
}
int main()
{while(~scanf("%d%d",&n,&m)){init();for(int i=1; i<=m; i++){int x,y;scanf("%d%d",&x,&y);addedge(x,y);}solve();for(int i=1; i<=n; i++)cout<<Belong[i]<<endl;}
}

下面就来做道缩点的题叭。