文章目录

一、拓扑排序（Topological Sort）
- 实现思路
二、强连通分支
- 1. 转置的概念
- 2. 强连通分支算法：Kosaraju算法思路
三、最短路径问题
- 1. 最短路径问题：Dijkstra算法
- 2. python代码实现
- 3. Dijkstra算法分析
四、最小生成树
- 1. 单播解法
- 2. 洪水解法
- 3. 最小生成树解法
- 4. Prim算法

一、拓扑排序（Topological Sort）

很多问题都可转化为图，利用图算法解决，例如制作煎饼的过程，以动作为顶点，以先后次序为有向边。

但问题是如果一个人独自做，所有动作的先后次序是什么？从加料开始？还是从加热烤盘开始？

从工作流程图得到工作次序排列的算法，称为“拓扑排序”。拓扑排序处理一个DAG（有向无圈图），输出顶点的线性序列。使得两个顶点v,w，如果G中有(v,w)边，即从顶点v到顶点w，那么在线性序列中v就出现在w之前。比如，在上图中“pour 1/4 cup”在“turn when bubbly之前”。

拓扑排序广泛应用在依赖事件的排期上，还可以用在项目管理、数据库/查询优化和矩阵乘法的次序优化上……

实现思路

拓扑排序可以采用DFS很好地实现：

将工作流程建立为图，工作项是节点，依赖关系是有向边；
工作流程图一定是个DAG图，否则有循环依赖；
对DAG图调用DFS算法，以得到每个顶点的“结束时间”；
按照每个顶点的“结束时间”从大到小排序；
输出这个次序下的顶点列表。

制作煎饼的步骤顺序（其中一种）

二、强连通分支

我们先看一张非常巨大的图：由网页通过超链接连接而形成的图。以网页（URI作为id）为顶点，网页内包含的超链接作为边，可以转换为一个有向图。

美国路德学院计算机系网站链接情况，有三个有趣的现象：

图中包含了许多路德学院其它系的网站；
包含了一些爱荷华其它大学学院的网站；
还包含了一些人文学院的网站。

我们可以猜想，Web的底层结构可能存在某些同类网站的聚集。在图中发现高度聚集节点群的算法，即寻找“强连通分支（Strongly Connected Components）”算法。

强连通分支，定义为图G的一个子集C，C中的任意两个顶点v,w之间都有路径来回，即(v,w)(w,v)都是C的路径，而且C是具有这种性质的最大子集。

下图是具有3个强连通分支的9顶点有向图，一旦找到强连通分支，可以据此对图的顶点进行分类，并对图进行化简。

1. 转置的概念

在用深度优先搜索来发现强连通分支之前，先熟悉一个概念：Transposition转置。

一个有向图G的转置GT\text G^ \text TGT，定义为将图G的所有边的顶点交换次序，如将(v,w)转换为(w,v)，可以观察到图和转置图在强连通分支的数量和划分上，是相同的。比如下图：

2. 强连通分支算法：Kosaraju算法思路

首先，对图G调用DFS算法，为每个顶点计算“结束时间”；
然后，将图G进行转置，得到GT\text G^ \text TGT；
再对GT\text G^ \text TGT调用DFS算法，但在dfs函数中，对每个顶点的搜索循环里，要以顶点的“结束时间”倒序来搜索；
最后，深度优先森林中的每一棵树就是一个强连通分支。

算法实例：

第一趟DFS：

转置后第二趟DFS：

从原来结束时间最大的A（18）开始，第一个子图探索完成后，开始从剩余顶点中的原来结束时间最大的C（10）开始……接着是F（9）……
结果：

Kosaraju算法最好理解，但是效率最差，因此另外的常用强连通分支算法有：Tarjan算法、Gabow算法（对Tarjan的改进）。感兴趣可以自行搜索了解。

三、最短路径问题

当我们通过网络浏览网页、发送电子邮件、 QQ消息传输的时候，数据会在联网设备（以路由器为例）之间流动，不同的路径花费的代价不同。这些是《计算机网络原理》的内容，在此不做赘述，这里我们只关心其中包含的图算法。如何通过图算法，找到代价最小或者说传播速度最快的路径？

我们可以将网络设备体系表示为一个带权边的图：

路由器作为顶点，路由器之间网络连接作为边；
权重可以包括网络连接的速度、网络负载程度、分时段优先级等影响因素；
作为一个抽象，我们把所有影响因素合成为单一的权重。

解决数据在路由器网络中选择传播速度最快路径的问题，就转变为在带权图上最短路径的问题。这个问题与广度优先搜索BFS算法解决的词梯问题相似，只是在边上增加了权重。

1. 最短路径问题：Dijkstra算法

解决带权最短路径问题的经典算法是以发明者命名的“迪杰斯特拉（Dijkstra）算法”。这是一个迭代算法，得出从一个顶点到其余所有顶点的最短路径，很接近于广度优先搜索算法BFS的结果。

具体实现上，在顶点Vertex类中的成员dist用于记录从开始顶点到本顶点的最短
带权路径长度（权重之和），算法对图中的每个顶点迭代一次。

顶点的访问次序由一个优先队列来控制，队列中作为优先级的是顶点的dist属性；
最初，只有开始顶点dist设为0，而其他所有顶点dist设为sys.maxsize（最大整数），全部加入优先队列；
随着队列中每个最低dist顶点率先出队；
并计算它与邻接顶点的权重，会引起其它顶点dist的减小和修改，引起堆重排；
并据更新后的dist优先级再依次出队。

算法实例：

设u为开始顶点，计算与u相连的其他顶点的权重，并将u出队；
更新v，x的权重，将较小的x（d=1）出队；
计算与x相连的v，w，y的权重，v:1+2=3 > 2，因此不更新权重，其余的更新，然后将最小的v出队；
同时y(d=2)也出队，计算与之相连的w,z，并更新w,z；
将w,z出队。

2. python代码实现

form pythonds.graphs import Graph,PriorityQueue,Vertexdef dijkstra(aGraph, start):pq = PriorityQueue()# 起点的距离设置为0start.setDistance(0)# 对所有顶点建堆，形成优先队列pq.buildHeap([(v.getDistance(), v) for v in aGraph])while not pq.isEmpty():# 优先队列出队currentVert = pq.delMin() # 更新相邻顶点的距离值for nextVert in currentVert.getConnections():newDist = currentVert.getDistance() + currentVert.getWeight(nextVert)if newDist < nextVert.getDistance():# 修改出队顶点所邻接顶点的dist，并逐个重排队列nextVert.setDistance(newDist)nextVert.setPred(currentVert)# 重新排列优先队列pq.decreaseKey(nextVert, newDist)

需要注意的是，Dijkstra算法只能处理大于0的权重，如果图中出现负数权重，则算法会陷入无限循环。

虽然Dijkstra算法完美解决了带权图的最短路径问题，但实际上Internet的路由器中采用的是其它算法

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