合振动的初相位确定方法

梁沙莎

( 延安大学西安创新学院 建筑工程系 陕西 长安区 710100) 引言

振动是自然界中最常见的运动形式之一，同时也是近代物理学和科学技术众多领域中的重要课题。随着生产技术的发展，动力结构又向大型化，复杂化，轻量化和高速化发展的趋势，由此而带来的工程振动问题更为突出。振动在当今不仅作为基础科学的一个重要分支，而且正走向工程科学发展的道路，它在地震学、建筑力学、机械、航空、航天、等工业技术部门中占有越来越重要的地位。因此，掌握同方向同频率简谐振动合成中初相位的确定方法，从而为研究现代科学技术振动和动态问题是十分重要的，更为初学者探讨振动问题打下良好的基础。 一、简谐振动基本概念

物体运动时，如果离开平衡位置的位移(或角位移)按余弦函数(或按正弦函数)的规律随时间变化，这种运动称为简谐振动，简称谐振动[1]。简谐振动是一种最简单和最基本的振动，一切复杂的振动都可以看作是由若干个简谐振动合成的结果。而振动的合成问题实际上是个运动合成问题，合振动的求解方法是用矢量求和的方法。同方向同频率的的合成是简谐振动合成最简单的形式，对于这种合成的求解，可以用代数法，也可以用几何法。各种相关资料中都只有这个合成的结果，却没有对合成振动初相位两个步的探讨挑选其中的一个最佳二、简谐振动合成分析

由相关计算可知，这个合成的运动是简谐振动。若两个分振动的表达式是：

ϕ

值的比较，和用什么样的方法进一

ϕ

值。下面就此问题进行深究。

A cos(wt +ϕ) x 1=11

x 2=A 2cos(wt +ϕ2)

则合振动的表达式是：

x =A cos(wt +ϕ)

合振动的振幅是：

2212

A =

A +A +2A 1A 2cos(ϕ1-ϕ2) ①

说明：合振动的振幅与两个分振动的振幅合振动的初相位： 1

A 1，A 2和初相位ϕ1, ϕ2都有关

A sin ϕ1+A 2sin ϕ2

tg ϕ=

② A 1cos ϕ1ϕ+1A cos ϕA 1sin +2A sin ϕ222

sin ϕ=或

A A 2cos ϕ2 ③ A 1cos ϕ1+

cos ϕ=或 ④

A

说明：合振动的初相们与分振动的振幅A 1，A 2和初相位ϕ1, ϕ2都有关。由此可见，这是确实合振动的振幅A 和初相位ϕ的确定与简谐振动确定振幅和

初相的不同之处是：这里的振幅和初相位不是由初始条件确定的，完全由两个分振动的振幅和初相位决定。

三、简谐振动合成初相位的确定方法

各种科技资料中，都只给出了初相位的计算公式，但这是一个三角函数表达式。对于确定的

A 1，A 2，ϕ1, ϕ2，就是在一个同期中，ϕ

也应该有两个

值，这是数字计算所给出的结果，毋庸质疑。问题是：怎样从这两个

ϕ

值中确

定这个合振动的初相位？怎样进行挑选？一般的科技资料中都没有给出。对于这类问题，初次接触是不易解决的。我们学习土木工程专业的学生研究振动很有必要。因为我国是一个多地震的区域，各种建筑物的设计中必须考虑防震的因素，

因此，必须深刻理解、牢固掌握、灵活运用有关地震方面的振动知识，确定合振的初相位

ϕ对于ϕ

。

值的确定，可以按以下几种情况，通过不同途径计算和挑选。

(一)当

ϕ1≠ϕ2时

ϕ

值

方法I ：通过计算、比较、确定

由②、③、④中的任意两式分别计算可各得两个部分即为所挑选出的

ϕ

值，两组

ϕ

值的重叠

ϕ值。

方法II ：通过计算，结合旋转矢量图确定ϕ。

由旋转矢量法可知：振幅矢量A 1, A , A 都以角速度w 沿逆时针方向转动，因此，在旋转过程中，平行四边形的形状不会发生变化，可用t=0时刻讨论ϕ的

值，所需要的那个

取值。

ϕ

由图可知，A 与x 轴的夹角就是ϕ，且ϕ1

(二)当

说明两个简谐振动是反相位的，从旋转矢量图上可以看出，合振幅A 与

A 1和A 2共线，由①式知：

A =A 1-A 2

ϕ1-ϕ2=±π时

算 ，只需用A 与A 1或A 2的指向关系，就可用ϕ1或ϕ2表示ϕ，从而确定了ϕ：

当A 1>A 2时，A 与A 1同指向，则ϕ=ϕ1，

当A 1

1

在此情况，可不必用②、③、④式进行计

说明两个简谐振动是同相位的，从旋转矢量图上可以看出，振幅矢量A 与

A 1和A 2同指向，则有 ϕ=ϕ1=ϕ2

在此情况下，也不必用②、③、④式进行计算，只用A 与A 1和A 2的指向关系就可确定ϕ。

四、例证

A =42+32+2x 4x 3-(-π]5π6x 23cos(10t +) 6

6=1求合振动的表达式。

5π

x 1=4cos(10t +

π

)

π5πϕ14≠ϕI cos +3cos(-) πcos 4=) 616sin ϕ

解：用

+3(-) =

可解得： 222

取它们的重叠部分，则有

313=4x +3(-) =

221211

=4x

5π[4sin +3sin(-)]还可计算： tg ϕ=

5

[4cos +3sin(-)]π7ϕ=π66可解得：或

66π

ϕ=

同样，由cos ϕ与tg ϕ的重叠部分，则有

6πϕ=

同样，由sin ϕ与tg ϕ的重叠部分，则有

6

则合振动的表达式：

π

x =A cos(ωt +ϕ)

π

=1cos(10t +)

6

方法II ：

5

ϕ-ϕ=-(-π) =π12由于

66 ，可用情况(二)进行计算。

由于A 1>A 2，说明：旋转矢量A 与A 1同指向，则

π

ϕ=ϕ1=

6

通过上文对简谐振动合成分析，探讨了同方向同频率简谐振动合成中初相位

π

五、结论(很重要，可以参照摘要加以扩充)

的确定方法，提出了一种初相位的简便确定方法。

ϕ1≠ϕ2时，两组ϕ值的重叠部分即为所挑选出的ϕ值，所需要的那个ϕ值。(即就取介于ϕ1和ϕ2之间的那个为ϕ值。)

(二)当ϕ1-ϕ2=±π时，用A 与A 就可用ϕ11或A 2的指向关系，或ϕ2表示ϕ，从而确定了ϕ：

当A 1>A 2时，A 与A 1同指向，则ϕ=ϕ1，

当A 1

ϕ。 (三)当ϕ=ϕ2时，用A 与A 1和A 2的指向关系就可确定

(一)当

通过具体例子，证明这种方法是正确可行的，结论是正确的。对于我国这样一个地震多发国家的建筑物设计人员，有着不可忽视的作用；也为探讨振动问题的科技人员提供理论基础。 参考文献

《普通物理学》程守洙编(高等教育出版社)1998年版[1] 《大学物理》朱峰主编(清华大学出版社)2004年版

《高等数学》同济大学应用数学系主编(高等教育出版社)2002年(5)版