传送门

\(r = 1\)直接判断所有点度数是否为偶数

考虑\(r = 2\)的情况。设\(x_i=0/1\)表示\(i\)点所在的集合，那么若\(2 \mid du_u\)，则\(\bigoplus\limits_{(u,v) \in e} x_v = 0\)，否则\(\bigoplus\limits_{(u,v) \in e} x_v = x_u \bigoplus 1\)，即\(x_u\ \ xor\ \ \bigoplus\limits_{(u,v) \in e} x_v = 1\)。

可以发现上面是一个异或方程组，高斯消元解出来即可。

但是\(r\)有可能\(> 2\)吗？事实上\(r\)只会等于\(1\)或者\(2\)。

可以发现如果\(r>2\)，意味着上面的异或方程组无解。无解则存在某些异或方程能够异或得到\(0=1\)。右式为\(1\)意味着有奇数个入度为奇数的点，而左式为\(0\)意味着所有点在这些异或方程中都出现了偶数次，而度数为奇数的点会在自己的方程中出现一次，所以在这个导出子图中，度数为奇数的点连接了奇数个点，度数为偶数的点连接了偶数个点，这意味着这个导出子图的度数和为奇数。但对于一个无向图度数无论如何都是偶数，所以不存在无解情况，所以\(r \leq 2\)。

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;inline int read(){int a = 0;char c = getchar();bool f = 0;while(!isdigit(c)){if(c == '-')f = 1;c = getchar();}while(isdigit(c)){a = (a << 3) + (a << 1) + (c ^ '0');c = getchar();}return f ? -a : a;
}const int MAXN = 2010;
bitset < MAXN > gauss[MAXN];
int N , M , ans[MAXN];int main(){for(int T = read() ; T ; --T){N = read();M = read();for(int i = 1 ; i <= N ; ++i){gauss[i].reset();gauss[i].set(i);}for(int i = 1 ; i <= M ; ++i){int a = read() , b = read();gauss[a][N + 1] = ~gauss[a][N + 1];gauss[b][N + 1] = ~gauss[b][N + 1];gauss[a][b] = gauss[b][a] = 1;}bool f = 1;for(int i = 1 ; f && i <= N ; ++i)f = !gauss[i][N + 1];if(f){puts("1");for(int i = 1 ; i <= N ; ++i)printf("1 ");}else{for(int i = 1 ; i <= N ; ++i)if(!gauss[i][N + 1])gauss[i][i] = 0;int now = 1;for(int i = 1 ; i <= N ; ++i){int j = now;while(j <= N && !gauss[j][i])++j;if(j > N){ans[i] = 0;for(int k = 1 ; k < now ; ++k)gauss[k][i] = 0;continue;}if(j != now)swap(gauss[j] , gauss[now]);while(++j <= N)if(gauss[j][i])gauss[j] ^= gauss[now];++now;}for(int j = now - 1 ; j ; --j){int p = 0;for(int k = 1 ; !p && k <= N ; ++k)if(gauss[j][k])p = k;ans[p] = gauss[j][N + 1];for(int k = j - 1 ; k ; --k)if(gauss[k][p])gauss[k] ^= gauss[j];}puts("2");for(int i = 1 ; i <= N ; ++i)printf("%d " , ans[i] + 1);}putchar('\n');}return 0;
}