题面：[HNOI2009]最小圈

题目描述：

考虑带权的有向图\(G=(V,E)\)以及\(w:E\rightarrow R\),每条边\(e=(i,j)(i\neq j,i\in V,j\in V)\)的权值定义为\(w_{i,j}\)，令\(n=|V|\)。\(c=(c_1,c_2,\cdots,c_k)(c_i\in V)\)是\(G\)中的一个圈当且仅当\((c_i,c_{i+1})(1\le i\lt k)\)和\((c_k,c_1)\)都在\(E\)中，这时称\(k\)为圈\(c\)的长度同时令\(c_{k+1}=c_1\)，并定义圈\(c=(c_1,c_2,\cdots,c_k)\)的平均值为\(\mu(c)=\sum\limits_{i=1}^{k} w_{c_i,c_{i+1}}/k\)，即\(c\)上所有边的权值的平均值。令\(\mu'(c)=Min(\mu(c))\)为\(G\)中所有圈\(c\)的平均值的最小值。现在的目标是：在给定了一个图\(G=(V,E)\)以及\(w:E\rightarrow R\)之后，请求出\(G\)中所有圈\(c\)的平均值的最小值\(\mu'(c)=Min(\mu(c))\)

输入格式：

第一行2个正整数，分别为\(n\)和\(m\)，并用一个空格隔开，只用\(n=|V|,m=|E|\)分别表示图中有\(n\)个点\(m\)条边。
接下来m行，每行3个数\(i,j,w_{i,j}\)，表示有一条边\((i,j)\)且该边的权值为\(w_{i,j}\)。输入数据保证图\(G=(V,E)\)连通，存在圈且有一个点能到达其他所有点。

输出格式：

请输出一个实数\(\mu'(c)=Min(\mu(c))\)，要求输出到小数点后8位。

输入样例#1：

4 5
1 2 5
2 3 5
3 1 5
2 4 3
4 1 3

输出样例#1：

3.66666667

输入样例#2：

2 2
1 2 -2.9
2 1 -3.1

输出样例#2：

-3.00000000

说明:

对于100%的数据，\(n\le 3000,m\le 10000,|w_{i,j}| \le 10^7\)

\(solution:\)

这道题要我们求平均值的最小值，所以我们考虑二分答案的可能性，先列出答案的意义：

\(ans=\frac{\sum\limits_{i=1}^{k} w_{c_i,c_{i+1}}}{K}\quad _{(c_{k+1}=c_1)}\)

我们将它转换一下：

\(ans*k={\sum\limits_{i=1}^{k} w_{c_i,c_{i+1}}}\quad _{(c_{k+1}=c_1)}\)

\(0=\sum\limits_{i=1}^{k} (w_{c_i,c_{i+1}})-ans*k\quad _{(c_{k+1}=c_1)}\)

\(0=\sum\limits_{i=1}^{k}(w_{c_i,c_{i+1}}-ans)\quad _{(c_{k+1}=c_1)}\)

这样我们发现它已经化成了一个二分答案的常用等式（等式右边可以\(O(n)\)求出来，且具备单调性）而我们注意到等式左边为0，所以我们可以二分ans，并将边权改为\(w_{c_i,c_{i+1}}-mid\) ，然后求负环即可。

为什么可以这样做呢？这个较地震那一题好讲一些，我们当前二分出来的平均值mid，我们将每一条边的边权都减去它，如果存在负环，说明这个环上所有边权实际边权值加起来的平均值一定小于mid！（这里需要仔细想一下）

\(code:\)

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<iomanip>
#include<algorithm>
#include<cstring>
#include<cstdlib>
#include<ctime>
#include<cmath>
#include<vector>
#include<queue>
#include<map>
#include<set>#define ll long long
#define db double
#define inf 0x7fffffff
#define rg register intusing namespace std;const db cha=1e-9;struct su{db v;int to,next;
}a[10005];bool f;
int n,m,top;
int tou[3005];
bool vis[3005];
db mid,dis[3005];inline int qr(){char ch;while((ch=getchar())<'0'||ch>'9');int res=ch^48;while((ch=getchar())>='0'&&ch<='9')res=res*10+(ch^48);return res;
}inline void add(int x,int y){scanf("%lf",&a[++top].v);a[top].to=y;a[top].next=tou[x];tou[x]=top;
}inline void spfa(int i){vis[i]=1;for(rg j=tou[i];j;j=a[j].next){if(dis[a[j].to]>dis[i]+a[j].v-mid){dis[a[j].to]=dis[i]+a[j].v-mid;if(vis[a[j].to])return void(f=1);else spfa(a[j].to);}}vis[i]=0;
}inline bool check(){for(rg i=1;i<=n;++i)dis[i]=vis[i]=0;;f=0;for(rg i=1;i<=n&&!f;++i)if(!vis[i])spfa(i);return f;
}int main(){freopen("cycle.in","r",stdin);freopen("cycle.out","w",stdout);n=qr(),m=qr();for(rg i=1;i<=m;++i)add(qr(),qr());db l=-1e7,r=1e7;while(l<=r){mid=(l+r)/2;if(check())r=mid-cha;else l=mid+cha;}printf("%.8lf\n",l);return 0;
}