广义Fibonacci数列找循环节

今天将来学习如何求广义Fibonacci数列的循环节。

问题：给定，满足，求的循

环节长度。

来源：http://acdreamoj.sinaapp.com/ 1075题

分析：我们知道矩阵的递推关系如下

然后继续有

那么，现在的问题就转化为求最小的，使得

所以我们可以先找出符合条件的一个，然后枚举它的因子，找最小的。设

为了好解决问题，我们需要对矩阵进行相似对角化，即，我们先来求的特征值。

解得的特征值为

也就是说的相似对角矩阵为

因为我们知道，所以当时，，由于

继续得到

设，那么分情况讨论：

（1）是模的二次剩余，由费马小定理得时，

（2）是模的二次非剩余，则有

根据欧拉准则有

那么继续得到

然后由费马小定理有，同理有

所以，当时，

（3）时，由于不存在，所以无法完成相似对角化，好在这种情况不存在。

所以综上所述：

是模的二次剩余时，枚举的因子

是模的二次非剩余时，枚举的因子

找最小的因子，使得

成立。

代码：

#include <iostream>
#include <string.h>
#include <algorithm>
#include <stdio.h>
#include <math.h>using namespace std;
typedef long long LL;
const int N = 2;
const LL MOD = 1000000007;LL fac[2][505];
int cnt,ct;LL pri[6] = {2, 3, 7, 109, 167, 500000003};
LL num[6] = {4, 2, 1, 2, 1, 1};struct Matrix
{LL m[N][N];
} ;Matrix A;
Matrix I = {1, 0, 0, 1};Matrix multi(Matrix a,Matrix b)
{Matrix c;for(int i=0; i<N; i++){for(int j=0; j<N; j++){c.m[i][j]  =0;for(int k=0; k<N; k++){c.m[i][j] += a.m[i][k] * b.m[k][j];c.m[i][j] %= MOD;}}}return c;
}Matrix power(Matrix A,LL n)
{Matrix ans = I, p = A;while(n){if(n & 1){ans = multi(ans,p);n--;}n >>= 1;p = multi(p,p);}return ans;
}LL quick_mod(LL a,LL b)
{LL ans = 1;a %= MOD;while(b){if(b & 1){ans = ans * a % MOD;b--;}b >>= 1;a = a * a % MOD;}return ans;
}LL Legendre(LL a,LL p)
{LL t = quick_mod(a,(p-1)>>1);if(t == 1) return 1;return -1;
}void dfs(int dept,LL product = 1)
{if(dept == cnt){fac[1][ct++] = product;return;}for(int i=0; i<=num[dept]; i++){dfs(dept+1,product);product *= pri[dept];}
}bool OK(Matrix A,LL n)
{Matrix ans = power(A,n);return ans.m[0][0] == 1 && ans.m[0][1] == 0 &&ans.m[1][0] == 0 && ans.m[1][1] == 1;
}int main()
{fac[0][0] = 1;fac[0][1] = 2;fac[0][2] = 500000003;fac[0][3] = 1000000006;LL a,b,c,d;while(cin>>a>>b>>c>>d){LL t = a * a + 4 * b;A.m[0][0] = a;A.m[0][1] = b;A.m[1][0] = 1;A.m[1][1] = 0;if(Legendre(t,MOD) == 1){for(int i=0; i<4; i++){if(OK(A,fac[0][i])){cout<<fac[0][i]<<endl;break;}}}else{ct = 0;cnt = 6;dfs(0,1);sort(fac[1],fac[1]+ct);for(int i=0;i<ct;i++){if(OK(A,fac[1][i])){cout<<fac[1][i]<<endl;break;}}}}return 0;
}

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