2017.3.24组合数学学习——容斥原理
容斥原理
定理:
设P1、P2、…、Pm是S的对象所涉及的m个性质,
并设Ai={x:x属于S且x具有性质Pi} (1<=i<=m)是S的具有性质Pi的对象构成的子集
那么不具有性质P1,P2,…Pm的对象个数=
|S|-Σ|Ai|+Σ|Ai∩Aj|-Σ|Ai∩Aj∩Ak|+…+(-1)^m|A1∩A2∩…∩Am|
一般情况下,此式的项数为
C(m,0)+C(m,1)+C(m,2)+…+C(m,m)=2^m
推论:
集合S中至少具有性质P1、P2、…、Pm之一的对象个数为
Σ|Ai|-Σ|Ai∩Aj|+Σ|Ai∩Aj∩Ak|-……+(-1)……(m+1)|A1∩A2∩…∩Am|
证明:
集合S中至少具有性质P1、P2、…、Pm之一的对象个数
= 集合S-集合S中不具有性质P1,P2,…Pm的对象个数
= |S|-(|S|-Σ|Ai|+Σ|Ai∩Aj|-Σ|Ai∩Aj∩Ak|+…+(-1)^m|A1∩A2∩…∩Am|)
= Σ|Ai|-Σ|Ai∩Aj|+Σ|Ai∩Aj∩Ak|-……+(-1)……(m+1)|A1∩A2∩…∩Am|
例1:求M,A,T,H,I,S,F,U,N的排列中有多少排列使得单词 MATH,IS,FUN 都不作为连续字母出现在排列中
解:
1、|S|=9!
2、把MATH看成一个符号,集合S有6个元素,MATH,I,S,F,U,N 6!
同理,把IS,FUN看为一个符号 分别为 8!, 7!
3、A1∩A2 :MATH,IS,F,U,N 5个元素 5!
同理,A1∩A3,A2∩A3 分别为 4! 6!
4、A1∩A2∩A3:MATH,IS,FUN 3个元素 3!
∴ans=9!-6!-8!-7!+5!+4!+6!-3!
错解:
A1∩A2指的是集合MATH,IS,F,U,N ,不是集合 MATHIS,F,U,N
容斥原理的特殊情况:
假设在容斥原理中出现的集合A1∩A2∩A3∩…∩Ak的大小仅依赖k,而不依赖在交集中使用了哪k个集合,
那么存在常数a0,a1,a2,…,am使得
a0=|S|
a1=|A1|=|A2|=…=|Am|
a2=|A1∩A2|=……=|Am-1∩Am|
a3=|A1∩A2∩A3=……Am-2∩Am-1∩Am|
……
am=|A1∩A2∩A3∩……∩Am|
在这种情况下,容斥原理可以化简为
a0-C(m,1)*a1 + C(m,2)*a2 - C(m,3)*a3 +…+(-1)^m *C(m,m)am
注:例1不符合这种情况,因为与所选集合的字母数量有关,即依赖于在交集中使用了哪k个集合
由k种不同对象且每种对象具有无限重复数的多重集合的r组合个数=C(r+k-1,r)
那么如果是有限重复数呢?
例:确定多重集合T={3*a,4*b,5*c}的10组合数目
设集合S为集合W={∞*a,∞*b,∞*c}的10组合
设性质P1为W的10组合中,a出现>3次,P2为W的10组合中,b出现>4次,P3为W的10组合中,c出现>5次
那么ans=不具有性质P1P2P3的10组合的集合大小
|S|=C(10+3-1,10)
集合A1为W的10组合中,a至少出现4次的组合组成的。集合A1可以看做,集合W的6组合加入4的a,
所以|A1|=W的6组合数目=C(6+3-1,6)
同理,|A2|=C(5+3-1,5),|A2|=C(4+3-1,4)
集合A1∩A2是W的10组合中,a至少出现4次,b至少出现5次的集合组成的。可以看做集合W的1组合+4个a+5个b
所以|A1∩A2|=C(1+3-1,1)
同理,|A1∩A3|=C(0+3-1,0) |A2∩A3|=0
|A1∩A2∩A3|=0
把这些结果放到容斥原理中即可得出答案
转载于:https://www.cnblogs.com/TheRoadToTheGold/p/6613120.html
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