限界函数：

CurValue + rest <= BestValue

回溯法（深度优先）剪枝

# 递归方式
class pack_01_back_prune_test:        def __init__(self,N,V,C,W):self.num =Nself.V = Vself.C = Cself.W = Wself.BestResult = [False]*Nself.Selected = [False]*Nself.BestValue = 0self.CurCost = 0self.CurValue = 0# bound()限界函数self.rest = 0for i in range(N):self.rest += W[i]def pack_01_back_tracking(self,depth):if depth > self.num-1:if self.CurValue > self.BestValue:self.BestValue = self.CurValue               self.BestResult[:] = self.Selected[:]else:# 满足约束条件和限界函数的处理if self.CurCost + self.C[depth] <= self.V and self.CurValue + self.rest > self.BestValue:self.Selected[depth] = Trueself.CurCost += self.C[depth]self.CurValue  += self.W[depth]self.rest -= self.W[depth]# nextself.pack_01_back_tracking(depth+1)# undoself.CurCost -= self.C[depth]self.CurValue  -= self.W[depth]self.rest += self.W[depth]# 满足限界函数   if self.CurValue + self.rest > self.BestValue:self.Selected[depth] = Falseself.pack_01_back_tracking(depth+1)def print_Result(self):self.pack_01_back_tracking(0)print(self.BestResult)print(self.BestValue)                # 迭代方式
#%%
# 这种解法注意回溯函数一致性，思路比较清晰：满足剪枝条件就回溯：CurValue + rest <= BestValue
# 这是基于深度优先搜索的回溯法剪枝,以下是迭代实现方法
def pack_01_back_prune_iteration_test(N,V,C,W):depth = 0BestResult = [False]*NSelected = [False]*(N)BestValue = 0CurCost = 0CurValue = 0   # bound()限界函数rest = 0for i in range(N):rest += W[i]while True:# 尽量向左走直到不满足约束条件while depth < N and CurCost + C[depth] <= V:rest -=W[depth]Selected[depth] = TrueCurCost += C[depth]CurValue  += W[depth]depth +=1# 走到底，结果处理if depth >= N:BestValue = CurValue                BestResult[:] = Selected[:]# 不能往左走，就向右走，注意这里只是走一步而已else:rest -=W[depth]Selected[depth] =Falsedepth +=1# 当不满足限界函数的时候，就需要回溯，注意底部也满足这个条件while CurValue + rest <= BestValue:# 回溯的处理，之所有需要depth -=1，上面走的时候都depth++了，底部也是这样depth -=1while depth >=0 and not Selected[depth]:rest +=W[depth]depth -=1# 当回溯到root的之后，无法回溯了，输出结果if depth < 0:return BestResult,BestValue# 回溯恢复现场else:Selected[depth] =FalseCurCost -= C[depth]CurValue  -= W[depth]depth +=1
# 运行
N = 8
V = 30
C = [11,2,3,9,13,6,15,7,19]
W = [5.0,2.0,5.0,7.0,5.0,11.0,6.0,14.0]print(pack_01_back_prune_iteration_test(N,V,C,W))pack_01_back_prune_test(N,V,C,W).print_Result()       ([False, True, True, True, False, True, False, True], 39.0)
[False, True, True, True, False, True, False, True]
39.0

分支限界法（宽度优先）剪枝

也使用一样的限界函数：
CurValue + rest <= BestValue
回溯法深度优先很快就能得到一个可行解，进而可以更新BestValue，分支限界法宽度优先，可行解都在最后一层，BestValue一直得不到更新，那就是限界函数一直不起作用
为了使限界函数早生效，我们应该提前更新BestValue，在满足约束条件下，进入左子树就可以更新BestValue，因为最终的BestValue是满足约束条件下Curvalue里面的最大值

代码实现：

#%%
class FIFO_01_Pack_prune:def __init__(self,N,V,C,W):self.num =Nself.Volume = Vself.Cost = Cself.Value = Wself.BestValue = 0#用于存放活结点，便于理解，把根结点，以及第0层结束标志-1放进去# 结点包括2个属性：当前空间大小，当前的价值大小self.queue = [[0,0],[-1,-1],]  # 当前剩余价值和,bound()限界函数self.rest = 0# 把第一个减去，因为我们要在进入这一层前更新restfor i in range(1,N):self.rest += W[i]# 实现时叶子结点不加入到活结点列表def enQueen(self,pair,depth):if depth < self.num -1:self.queue.append(pair)def pack_01(self):
#        selected = [0]*self.num      # 首先取出根结点depth = 0pair = self.queue.pop(0)CurCost = pair[0]CurValue = pair[1]while True:# 判断左结点能否加入到队列，能的话，把当前空间和当前价值放入队列,满足约束条件if CurCost + self.Cost[depth] < self.Volume:# 满足限界函数if CurValue + self.Value[depth] + self.rest > self.BestValue:# 在进入左子树时，更新bestvalueself.BestValue = CurValue + self.Value[depth]                   self.enQueen([CurCost + self.Cost[depth],CurValue + self.Value[depth]],depth)# 右满足限界函数if CurValue + self.Value[depth] + self.rest > self.BestValue:self.enQueen([CurCost,CurValue],depth)# 然后弹出下一个结点pair = self.queue.pop(0)CurCost = pair[0]CurValue = pair[1]# 当同一层处理完毕时，先判断是否能够输出结果，判断的标准是队列是否为空，# 这时下一层的所有结点已经加入了队列，这时需要把下一层# 增加一个结尾-1便于判断，然后进入下一层，弹出下一个结点if CurCost == -1:if not self.queue:return self.BestValueself.enQueen([-1,-1],depth)depth += 1# 在刚进入下一层时，更新restself.rest -= self.Value[depth]# 弹出下一个结点pair = self.queue.pop(0)CurCost = pair[0]CurValue = pair[1]def print_Result(self):print(self.pack_01())                #%%
N = 8
V = 30
C = [11,2,3,9,13,6,15,7,19]
W = [5.0,2.0,5.0,7.0,5.0,11.0,6.0,14.0]#pack_01_back_test(N,V,C,W).print_Result()
FIFO_01_Pack_prune(N,V,C,W).print_Result()

不知道大家注意到没有？上述实现方式没有使用单位体积价值的排序，和之前提到01背包回溯法基于单位体积价值实现不一样（先装单位体积价值高的）。

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