Gosper 的序列循环检测

// 高效程序的奥秘hacker's delight Henry S. Warren, Jr. 著冯速译

// 第5 章位计数5.4 后缀0 计数

// 假设序列X0, X1, X2, ... 是由Xn+1 = f(Xn) 定义的。如果f 的值域是有限的，那么序列必定是循环的。

// 给定函数f , 循环检测问题就是找到第一个重复出现的元素的下标μ和周期λ.

// 参考: http://home.pipeline.com/~hbaker1/hakmem/flows.html#item132 LOOP DETECTOR

// Knuth, Donald E. The Art of Computer Programming, Volume 2, Third Edition 3.1 节的问题6

#include "iostream"

#include "bitset"

#include "limits"

#include "time.h"

using namespace std;

#define out2(T) cout<<bitset<numeric_limits<unsigned int>::digits>(T)<<endl;

#define SIZE(T) (numeric_limits<unsigned T>::digits)

bool SHR31(int x) //逻辑右移位

{

return (unsigned int)x>>31;

}

#define HOUT(x,y,z) hex_out(x,y,z)

inline void hex(int x)

{

int w = cout.width();

cout << "0x";

cout.width(8); cout.fill('0');

cout << hex << x << " ";

cout.width(w);

}

inline void hex(unsigned __int64 x)

{

int w = cout.width();

cout << "0x";

cout.width(16); cout.fill('0');

printf("%I64x ",x);

cout.width(w);

}

void hex_out(int x, int y, int z)

{

hex(x); hex(y); hex(z); cout << endl;

}

int nlz(unsigned int x) {

int n;

if (x == 0) return 32;

n = 1;

if ((x >> 16) == 0) {n = n +16; x = x <<16;}

if ((x >> 24) == 0) {n = n + 8; x = x << 8;}

if ((x >> 28) == 0) {n = n + 4; x = x << 4;}

if ((x >> 30) == 0) {n = n + 2; x = x << 2;}

n = n - (x>>31);

return n;

}

int ntz(unsigned int x)

{

int n;

if (x == 0) return 32;

n = 1;

if ((x & 0x0000FFFF) == 0) {n +=16; x >>= 16;}

if ((x & 0x000000FF) == 0) {n += 8; x >>= 8;}

if ((x & 0x0000000F) == 0) {n += 4; x >>= 4;}

if ((x & 0x00000003) == 0) {n += 2; x >>= 2;}

return n - (x & 1);

}

// 平方取中

int f(int a)

{

return (a*a / 120) % 14400;

}

// 这里分五步论证算法的正确性：

// 0. f值域有限，则f 函数是循环，参考knuth 的证明

// 1. 设前面存的T[] 最大位置p, 现在查询最大位置kmax, 总有p = kmax

// 证：先证p 不小于且不大于kmax, p 存放的位置每次最大发生在2^i 处,

// 如: 10, 100, 1000, 10000 ...

// 设位长W = 8, 则 1000B 处是交界, ntz(1000B) = 3; kmax = 8-1 - nlz(1000B) = 7 - 4 = 3; 若i < 1000B, kmax <= p

// 若i > 1111B , 如i = 10000B, 则p = 4, kmax = 8-1 - nlz(10000B) = 4, kmax = p, 即kmax 随p 更新

// 又p 取所有位置的最大位置所以总有p = kmax, 不会造成访问越界，也不会造成访问遗漏.

// 2. T[] 数组有些元素总会被后来的元素覆盖, 但个别元素在一个周期内不会被覆盖.如果存在这种元素(称为异元素)，

// 则总能在第二个周期λ中检测到循环

// 证：如奇数，由于ntz(奇数) = 0, 前一个奇数总被后一个奇数覆盖

// 若偶数，是不是在一个周期λ内有偶数不被覆盖，且不覆盖别的偶数呢？这一点很重要, 设这种偶数为异元素

// 因为被覆盖的元素在第二个周期都会反过来覆盖先前覆盖它的元素,

// 而到第二个周期λ检测中，这种异元素不会被反覆盖，当再一次走到这个值时，就可以检测到相同,

// 所以总能在第二个周期λ中检测到循环

// 3. 这种异元素总是存在的

// 证：举例λ= 10110101B, 从μ位置开始循环, 如果μ= 0, 则10000000B 位置为异元素, 因为ntz(10000000B)

// 是i < 11111111B 中最大的了, 如果 μ= 01001011B, μ+ λ= 100000000B 这个元素独一无二的，

// 在下一个周期内μ+ λ+ λ< 1000000000B, 不可能有更大的p, 又p 先于kmax 更新，所以在一个周期内

// 这种独一无二的元素总是存在的

// 4. 对于周期λ和μ的求解也就迎刃而解了，可参考ITEM 132 和下面的程序

// 找出序列的周期 λ (lambda) 和开始位置 μ 的上下界 mu_l , mu_u

void ld_Gosper(int (*f)(int), int X0, int *mu_l, int *mu_u, int *lambda)

{

int Xn, k, m, kmax, n, lgl;

int T[33];

T[0] = X0;

Xn = X0;

for (n = 1; ; n++) {

Xn = f(Xn);

kmax = 31 - nlz(n); // Floor(log2 n).

for (k = 0; k <= kmax; k++) {

if (Xn == T[k]) goto L;

}

T[ntz(n+1)] = Xn; // No match.

}

// Compute m = max{i | i < n and ntz(i+1) = k}.

m = ((((n >> k) - 1) | 1) << k) - 1;

*lambda = n - m;

lgl = 31 - nlz(*lambda - 1); // Ceil(log2 lambda) - 1

*mu_u = m; // Upper bound on mu.

*mu_l = m - __max(1, 1 << lgl) + 1; // Lower bound on mu.

}

void test1();

void main()

{

test1();

}

void test2()

{

int (*p)(int) = f;

int X0 = 32690;

int *mu_l = new int; int *mu_u = new int; int *lambda = new int;

ld_Gosper(p, X0, mu_l, mu_u, lambda);

cout << (*mu_l) << " " << (*mu_u) << " " << (*lambda) << endl;

delete mu_l; delete mu_u; delete lambda;

}

void test1()

{

int (*p)(int) = f;

int X0 = 286;//123456;//2375;

int *mu_l = new int; int *mu_u = new int; int *lambda = new int;

// ld_Gosper(p, X0, mu_l, mu_u, lambda);

// cout << (*mu_l) << " " << (*mu_u) << " " << (*lambda) << endl;

int max = 0; int q = X0;

for (int j = 1; ;j++) {

X0 = j;

ld_Gosper(p, X0, mu_l, mu_u, lambda);

if (*lambda >= max) { max = *lambda; q = X0;}

if (j >= 0x7FFF) break;

}

ld_Gosper(p, q, mu_l, mu_u, lambda);

cout << (*mu_l) << " " << (*mu_u) << " " << (*lambda) << endl << endl;

X0 = q;

for (int i = 0; i < 50; i++) {

cout << X0 << endl;

X0 = p(X0);

}

delete mu_l; delete mu_u; delete lambda;

}

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