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假如x,y∼U(0,1)x,y\sim U(0,1)x,y∼U(0,1), 也就是说x,yx,yx,y都是(0,1)(0,1)(0,1)上的均匀分布.
问题是:z=∣x−y∣z=|x-y|z=∣x−y∣是什么分布?

采样并列图表

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as pltN = 500000data = []
for k in range(N):x1 = np.random.rand()x2 = np.random.rand()d = np.abs(x1-x2)data.append(d)n, bins, patches = plt.hist(data, 50)plt.title('Histogram some')
plt.grid(True)
plt.show()

可见这z=∣x−y∣z=|x-y|z=∣x−y∣的分布是一个三角形分布.

分析

通过上面的分析, 我们可以确定z=∣x−y∣z=|x-y|z=∣x−y∣的概率密度函数为 p(z)={2(1−z),z∈(0,1)0,(otherwise)p(z)=\left\{ \begin{aligned} 2(1-z), z\in (0,1)\\ 0, \quad (otherwise) \end{aligned} \right.p(z)={2(1−z),z∈(0,1)0,(otherwise)

但是如何分析得到这个概率密度函数呢? 我的方法是画出z=∣x−y∣z=|x-y|z=∣x−y∣的函数图像.

注意上面的图像是个3D图像. 那么我们如何计算概率密度? 首先计算,
图像表面积是多少. ∫0122(1−z)dz=2\int_{0}^{1}{2\sqrt{2}(1-z)dz}=\sqrt{2}∫0122(1−z)dz=2

高度为z的点构成两条直线, 这两条直线的长度为22(1−z)2\sqrt{2}(1-z)22(1−z),
有此可见,点zzz处的概率密度为 22(1−z)/2=2(1−z)2\sqrt{2}(1-z)/\sqrt{2}=2(1-z)22(1−z)/2=2(1−z).
于是原式得证. 这里其实就是要除以一个表面积的总和而已.
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