Isomap等距映射算法（1）

2024-06-20 04:59:21

在学习ISOMAP之前先了解一下流形，从最简单的情况来说，直线或曲线是一维流形，而平面或者球面是二维流形，可以以此类推到多维流行，不过高维的东西对我们来说很难想象。

在论文中经常会看到“嵌入在高维空间中的低维流形”这种说法，怎么来理解呢，比如一块布，可以把它看成一个二维平面，这是一个二维的欧式空间（在我的理解中，欧式空间就是我们初中高中所学习的平面几何，立体几何中的空间），我们使它扭曲变形，它就变成了一个流形。这个流形直观上看是二维空间在三维空间中被扭曲的结果。

需要注意的是，流形并不是一个“形状”，而是一个“空间”。其实流形并不需要依靠嵌入在一个“外围空间”而存在，稍微正式一点来说，一个 d 维的流形就是一个在任意点出局部同胚于（简单地说，就是正逆映射都是光滑的一一映射）欧氏空间（重点就是明白流形是一个空间）

接着来谈Isomap，它是一种降维算法，一种非迭代的全局优化算法。

降维的目的是找出隐藏在高维数据中的低维结构，可以降低计算的复杂性。Isomap是一种非线性的降维算法。

从Isomap的名字上看，它是一种等距映射算法，也就是说降维后的点，两两之间距离不变，这个距离是测地距离。

解释一下测地距离，例如在地球上，要从南极到北极，欧式距离就是两点之间直线最短，测地距离则是曲线的长度，更符合实际情况。

对于测地距离的计算，离得很近的点可以用欧氏距离来代替，离的较远的点，使用图论中的最短路径来逼近。（具体怎么做还没弄懂）

附上该算法的链接

最后来几张图

欧氏距离示意图

测地距离示意图

降维后示意图

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