不用标点符号实现加减乘除运算

这个题是leetcode里面的一个经典面试题，整理了几种比较经典的实现方法。

１、加法

　　要实现加法操作可以分为两步：

　（１）不进位部分的加法用ａ^ b；

　（２）进位部分的加法用（ａ＆ｂ）<< 1;

递归实和非递归现方法实现如下：


//加法
//(递归方法)
int getAddNumber(int a, int b)
{if (b == 0) return a;int sum = a^b;//可以得到进位int carray = (a & b) << 1;return  getAddNumber(sum, carray);
}
//(非递归方法)
int getAddNumber1(int a, int b) {while (b) {// 防止 AddressSanitizer 对有符号左移的溢出保护处理auto c = ((unsigned int)a & b) << 1;a = a ^ b;b = c;}return a;
}
int getAddNumber2(int a, int b) {int sum;int carry;if (a == 0) return b;if (b == 0) return a;carry = a & b;sum = a ^ b;while (carry) {int temp = sum;//最高位为1即负数左移会报错, 使carry最高位永远为0carry = carry & (-1);sum = sum ^ (carry << 1);carry = temp & (carry << 1);}return sum;
}

２、减法

要实现减法首先的有补码相关的知识：补码相关知识

　　我们分以下几步来看：（以a - b为例）

　　(1) 如果b 的值为0，那么结果显而易见就是a 了。

　　(2) b 不为0 的情况下，我们仍然先不考虑借位，先将被减数和减数同为1 的位置去掉。

　　　　第一步，找出减数和被减数同为1 的位置。可使用 sameNum = a&b;

　　　　第二步，分别将被减数和减数同为1 的位置去掉1 ，这里可以用

a ^= sameNum; b ^= sameNum;

　　(3) 此时，减数和被减数相同位只存在以下三种情况：

1. 被减数：0 ；减数： 0；差：0；
2. 被减数：0 ；减数： 1；差：1；
3. 被减数：1 ；减数： 0；差：1；

　　(4) 通过对被减数、减数和差的分析，很容易就能知道差值应该是被减数和减数的按位或的结果。于是我们便有：a | b 得到临时的结果;

　　(5) 此时再考虑借位问题。很明显只有在减数为1的情况下，被减数与之对应的左一位才会出现借位，于是借位便可以用 b << 1 ; 来表示。

　　(6) 再把临时结果减去借位，直到借位为0,得到的结果便是最终的结果了。

//减法
int getSubNUm(int a, int b)
{while (b != 0){// 去掉被减数和减数中同为1的位int sameNum = a & b;a ^= sameNum;b ^= sameNum;// 此时，a 和 b 不存在同时为1 的位// 0 - 1 和 1 - 0 都为1a |= b; // 得到相减的临时结果（不考虑借位）b = b << 1; // 减数为1 时，必有借位}return a;
}

3、乘法

（1）先考虑正整数之间的乘法运算

　　在二进制中，每向左移动一次，都相当于原始数乘以2。而每个数据都可以写成k0×20+k1×21+...+km×2m的形式。因此我们可以得到以下式子：

　　a x b = ax20xk0 + ax21xk1 + .... + ax2mxkm 其中ki = {0, 1};

（2）其次就是要考虑正负号（溢出问题）

这里可以直接判断a、b和0 的关系来判断正负，也可以做左移操作，因为计算机中数据都是以补码的数据存储的，其中正数和负数的区别便是最高位是否为1；（负数的补码最高位为1）；


int maxNumFlag()
{int bitsOfByte = 8;int maxNum = 0x80;int tmp = maxNum;while (tmp != 0){maxNum = tmp;tmp <<= bitsOfByte;}return maxNum;
}//乘法
int getMultip(int a, int b)
{// 1.先只考虑正整数的相乘// 2.考虑正负情况和溢出问题int maxNum = maxNumFlag();int flag_a = 1;if ((maxNum & a) != 0){flag_a = 0; // 负数a = getAddNumber(~a, 1);}int flag_b = 1;if ((maxNum & b) != 0){flag_b = 0;b = getAddNumber(~b, 1);}int result = 0;for (int bits = 1; bits != 0; bits <<= 1){if ((bits & b) != 0){result = getAddNumber(result, a);if ((result & maxNum) != 0|| (a & maxNum) != 0){cout << "数据过大！" << endl;}}a <<= 1;}return (flag_a ^ flag_b) == 0 ? result : getAddNumber(~result, 1);
}

4、除法

第一种方法：除法没有溢出，但是有其他的限定条件，比如除数不能为“0”。

　　这里先说下除法和减法之间的关系。以97÷23=4（余5）为例：

　　也就是 97-23×4=5

：=》97-23-23-23-23 = 5

//除法
int getDivision(int a, int b)
{if (b == 0){cout<< "除数不能为0！！"<< endl;}int maxNum = maxNumFlag();int flag_a = 1;if ((maxNum & a) != 0){flag_a = 0; // 负数a = getAddNumber(~a, 1);}int flag_b = 1;if ((maxNum & b) != 0){flag_b = 0;b = getAddNumber(~b, 1);}int index = 1;int tmp = getSubNUm(a, b);if (tmp < 0){return 0;}while (tmp >= b){tmp = getSubNUm(tmp, b); // 最后一次循环后的tmp 便是a/b 的余数index = getAddNumber(index, 1);}return (flag_a ^ flag_b) == 0 ? index : getAddNumber(~index, 1);
}

　第二种方法：思路如下：

1. 预备工作：置商为0；
2. 判断“被除数>=除数 ”是否成立：

成立，继续步骤3；

不成立，被除数的值赋给余数，计算结束。

1. 备份除数，并设置商分子（一个临时变量，最终需加到商上面，故暂且如此命名）为1；

对商分子和除数同步向左移位，直到继续移位将大于被除数时为止；

1. 从被除数上减去除数，并将商加上商分子。
2. 通过备份的除数值还原除数，跳转到步骤2继续执行。

int getDivision1(int a, int b)
{if (b == 0){cout<< "除数不能为0！！"<< endl;}int maxNum = maxNumFlag();int flag_a = 1;if ((maxNum & a) != 0){flag_a = 0; // 负数a = getAddNumber(~a, 1);}int flag_b = 1;if ((maxNum & b) != 0){flag_b = 0;b = getAddNumber(~b, 1);}int quotient = 0;int backupB = b;while (a >= b){int tempB = b << 1;int tempQ = 1;while ((tempB <= a) && ((tempB & maxNumFlag()) == 0)){b = tempB;tempQ <<= 1;tempB <<= 1;}a = getSubNUm(a, b);quotient |= tempQ;b = backupB;}if (((maxNum & a) != 0) && (a != 0)){quotient = getAddNumber(quotient, 1);}return (flag_a ^ flag_b) == 0 ? quotient : getAddNumber(~quotient, 1);
}

完整实现的代码：

#include <iostream>
using namespace std;//加法
//(递归方法)
int getAddNumber(int a, int b)
{if (b == 0) return a;int sum = a^b;//可以得到进位int carray = (a & b) << 1;return  getAddNumber(sum, carray);
}
//(非递归方法)
int getAddNumber1(int a, int b) {while (b) {// 防止 AddressSanitizer 对有符号左移的溢出保护处理auto c = ((unsigned int)a & b) << 1;a = a ^ b;b = c;}return a;
}
int getAddNumber2(int a, int b) {int sum;int carry;if (a == 0) return b;if (b == 0) return a;carry = a & b;sum = a ^ b;while (carry) {int temp = sum;//最高位为1即负数左移会报错, 使carry最高位永远为0carry = carry & (-1);sum = sum ^ (carry << 1);carry = temp & (carry << 1);}return sum;
}
//减法
int getSubNUm(int a, int b)
{while (b != 0){// 去掉被减数和减数中同为1的位int sameNum = a & b;a ^= sameNum;b ^= sameNum;// 此时，a 和 b 不存在同时为1 的位// 0 - 1 和 1 - 0 都为1a |= b; // 得到相减的临时结果（不考虑借位）b = b << 1; // 减数为1 时，必有借位}return a;
}int maxNumFlag()
{int bitsOfByte = 8;int maxNum = 0x80;int tmp = maxNum;while (tmp != 0){maxNum = tmp;tmp <<= bitsOfByte;}return maxNum;
}//乘法
int getMultip(int a, int b)
{// 1.先只考虑正整数的相乘// 2.考虑正负情况和溢出问题int maxNum = maxNumFlag();int flag_a = 1;if ((maxNum & a) != 0){flag_a = 0; // 负数a = getAddNumber(~a, 1);}int flag_b = 1;if ((maxNum & b) != 0){flag_b = 0;b = getAddNumber(~b, 1);}int result = 0;for (int bits = 1; bits != 0; bits <<= 1){if ((bits & b) != 0){result = getAddNumber(result, a);if ((result & maxNum) != 0|| (a & maxNum) != 0){cout << "数据过大！" << endl;}}a <<= 1;}return (flag_a ^ flag_b) == 0 ? result : getAddNumber(~result, 1);
}//除法
int getDivision(int a, int b)
{if (b == 0){cout<< "除数不能为0！！"<< endl;}int maxNum = maxNumFlag();int flag_a = 1;if ((maxNum & a) != 0){flag_a = 0; // 负数a = getAddNumber(~a, 1);}int flag_b = 1;if ((maxNum & b) != 0){flag_b = 0;b = getAddNumber(~b, 1);}int index = 1;int tmp = getSubNUm(a, b);if (tmp < 0){return 0;}while (tmp >= b){tmp = getSubNUm(tmp, b); // 最后一次循环后的tmp 便是a/b 的余数index = getAddNumber(index, 1);}return (flag_a ^ flag_b) == 0 ? index : getAddNumber(~index, 1);
}int getDivision1(int a, int b)
{if (b == 0){cout<< "除数不能为0！！"<< endl;}int maxNum = maxNumFlag();int flag_a = 1;if ((maxNum & a) != 0){flag_a = 0; // 负数a = getAddNumber(~a, 1);}int flag_b = 1;if ((maxNum & b) != 0){flag_b = 0;b = getAddNumber(~b, 1);}int quotient = 0;int backupB = b;while (a >= b){int tempB = b << 1;int tempQ = 1;while ((tempB <= a) && ((tempB & maxNumFlag()) == 0)){b = tempB;tempQ <<= 1;tempB <<= 1;}a = getSubNUm(a, b);quotient |= tempQ;b = backupB;}if (((maxNum & a) != 0) && (a != 0)){quotient = getAddNumber(quotient, 1);}return (flag_a ^ flag_b) == 0 ? quotient : getAddNumber(~quotient, 1);
}int main()
{cout << getAddNumber(-2, 8) << endl;cout << getAddNumber1(10, 999999) << endl;cout << getAddNumber2(-2, -30) << endl;cout << getSubNUm(100, -3) << endl;cout << getMultip(-30, 6) << endl;cout << getDivision(42,3) << endl;cout << getDivision(9,2) << endl;return 0;
}

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