1.数据拟合

2.一元多次曲线拟合（线性）

polyfit函数

polyval函数

3.多元多次曲线拟合（线性）

regress函数

4.非线性拟合

lsqcurvefit函数

5.强大的曲线拟合工具

6.优秀论文借鉴

1.数据拟合

数据拟合的思想:已知平面n个点互不相同，寻找f（x），使得f（x）在某种准则下与所有点最接近。

曲线拟合的关键问题:
(1）在何种距离准则下讨论函数和已知点的距离?

(2）如何选择拟合函数f (x)?

(3）如何求解拟合函数?

2.一元多次曲线拟合（线性）

polyfit函数

[P,S,mu]=polyfit(X,Y,m)[P,S]=polyfit(X,Y,m)P=polyfit(X,Y,m)

根据样本数据X和Y，

产生一个m次多项式，系数向量P，及其在采样点误差数据S，

mu是一个二元向量，mu(1)是mean(X)，而mu(2)是std(X)。

polyval函数

多项式曲线求值函数，通常和polyval一起用。

 y=polyval(p,x)[y,DELTA]=polyval(p,x,s)

1.y=polyval(p,x)为返回对应自变量x在给定系数P的多项式的值。

2.[y,DELTA]=polyval(p,x,s) 使用polyfit函数的选项输出s得出误差估计Y DELTA。它假设polyfit函数数据输入的误差是独立正态的，并且方差为常数。则Y DELTA将至少包含50%的预测值。

例题：

x=0: 0.1: 1;
y=[-0.447, 1.978, 3.11, 5.25, 5.02, 4.66, 4.01, 4.58, 3.45, 5, 35];
p = polyfit(x, y, 3) % 三次多项式拟合
xx = 0: 0.01 : 1;
yy = polyval(p, xx) ; % 根据系数向量p计算在xx点处的函数值
plot(xx, yy, '-b', x, y, 'markersize', 20)%作出yuan

3.多元多次曲线拟合（线性）

regress函数

[B,BINT,R,RINT,STATS] = regress(Y,X)
[B,BINT,R,RINT] = regress(Y,X)
[B,BINT,R] = regress(Y,X)
[B,BINT] = regress(Y,X)
B = regress(Y,X)

返回值解释：

B：回归系数，即未知参数，B(1)为常数项，B(2~……)依次为X每一列（从第二列起）对应的项的系数；
BINT：回归系数的置信区间。（置信区间：当给出某个估计值的95%置信区间为[a, b]时，可以理解为我们有95%的信心可以说样本的平均值介于a到b之间，而发生错误的概率为5%）
R：残差（残差是指观测值与预测值（拟合值）之间的差，即是实际观察值与回归估计值的差）
RINT：残差的置信区间。
STATS：用于检验回归模型的统计量。有4个数值：判定系数R ^2（度量拟合优度的统计量，R²的值越接近1，说明回归直线对观测值的拟合程度越好），F统计量观测值，检验的p的值（p < 0.05时回归模型成立），误差方差的估计。
例子：

x1=[3.91 6.67 5.33 5.56 6.12 7.92 5.82 5.5 5.59 6.12 6.68 6.93]';
x2=[9.43 14.5 15.8 19.8 17.4 23.8 31.6 37.1 36.4 32.2 36.6 41.3]';
X=[ones(12,1), x1, x2];
Y=[280 338 405 432 452 582 596 602 606 621 629 656]';[b,bint,r,rint,stats] = regress(Y,X)
rcoplot(r,rint) % 绘制残差图

残差图：残差图中圆圈是每个数据点的实际残差，横线区间是残差置信区间，置信区间穿过原点说明方程拟合的很好；未通过原点，可视为异常点，比如上图中显示第二组数据未通过原点，因此第二组数据拟合结果较差。

之后可将第二组数据去除后再次进行拟合，得到的结果更为准确。

4.非线性拟合

最小二乘法求解非线性拟合问题！！！

lsqcurvefit函数

x = lsqcurvefit(fun,x0,xdata,ydata)x = lsqcurvefit(fun,x0,xdata,ydata,lb,ub)x = lsqcurvefit(fun,x0,xdata,ydata,lb,ub,options)[x,resnorm,residual,exitflag] = lsqcurvefit(…)

参数解释：

x0为待求参数（初始解向量），初始变量的选取影响最终解
xdata，ydata为用于拟合的数据
lb、ub为解向量的下界和上界lb≤x≤ub，若没有指定界，则lb=[ ]，ub=[ ]
fun为待拟合函数，计算x处拟合函数值，其参数一般有两类，一类是目标函数的参数，一类是目标函数的未知数

返回值解释：

x为待求参数向量
resnorm=sum ((fun(x,xdata)-ydata).^2)，即在x处残差的平方和
residual=fun(x,xdata)-ydata，即在x处的残差
exitflag为终止迭代的条件

例子：

%% y=tcos(kx)e^(wx)
x=[0,0.4,1.2,2,2.8,3.6,4.4,5.2,6,7.2,8,9.2,10.4,11.6,12.4,13.6,14.4,15]';
y=[1,0.85,0.29,-0.27,-0.53,-0.4,-0.12,0.17,0.28,0.15,-0.03,-0.15,-0.07,0.059,0.08,0.032,-0.015,-0.02]';
f= @(c,x) c(1)*cos(c(2)*x).*exp(c(3)*x);
c0= [0 0 0];
[c, fval]= lsqcurvefit(f, c0, x, y);
xx=0:0.1:20;
yy=f(c, xx);
plot(x, y, 'r*', xx, yy, 'b-');
disp(c);

xdata = [3.6,7.7,9.3,4.1,8.6,2.8,1.3,7.9,10.0,5.4];
ydata = [16,150.5,260.1,22.5,206.5,9.9,2.7,165.5,325.0,54.5];
c0=[ 0 0 0];
f_h=@(c, x) c(1)*x.^2 + c(2)*x.*sin(x) + c(3)*x.^3;
[c, resnorm, r]=lsqcurvefit(f_h, c0, xdata, ydata);%% 绘图
xx=0:0.1:11;
yy=f_h(c, xx);
plot(xdata, ydata, 'r*', xx, yy, 'b-');
disp(c);

5.强大的曲线拟合工具

6.优秀论文借鉴

matlab实现数据拟合

clear;clc
year = 1790:10:2000;
population = [3.9,5.3,7.2,9.6,12.9,17.1,23.2,31.4,38.6,50.2,62.9,76.0,92.0,106.5,123.2,131.7,150.7,179.3,204.0,226.5,251.4,281.4];
plot(year,population,'o')
cftool  % 拟合工具箱
% (1) X data 选择 year
% (2) Y data 选择 population
% (3) 拟合方式选择：Custom Equation (自定义方程)
% (4) 修改下方的方框为：x = f(t) = xm/(1+(xm/3.9-1)*exp(-r*(t-1790)))
% (5) 左边的result一栏最上面显示：Fit computation did not converge:即没有找到收敛解，右边的拟合图形也表明拟合结果不理想
% (6) 点击Fit Options，修改非线性最小二乘估计法拟合的初始值(StartPoint), r修改为0.02，xm修改为500
% 有很多同学有疑惑，初始值为什么要这样设置？我们在未来学习微分方程模型和智能算法的课程时再来给大家介绍这里面蕴含的技巧。
% (7) 此时左边的result一览得到了拟合结果：r = 0.02735, xm = 342.4
% (8) 依次点击拟合工具箱的菜单栏最左边的文件—Generate Code(导出代码到时候可以放在你的论文附录)，可以得到一个未命名的脚本文件
% (9) 在这个打开的脚本中按快捷键Ctrl+S，将这个文件保存到当前文件夹。
% (10) 在现在这个文件中调用这个函数得到参数的拟合值和预测的效果
[fitresult, gof] = createFit(year, population)
t = 2001:2030;
xm = 342.4;
r =  0.02735;
predictions = xm./(1+(xm./3.9-1).*exp(-r.*(t-1790)));  % 计算预测值（注意这里要写成点乘和点除,这样可以保证按照对应元素进行计算）
figure(2)
plot(year,population,'o',t,predictions,'.')  % 绘制预测结果图% % 注意：代码文件仅供参考，一定不要直接用于自己的数模论文中
% % 国赛对于论文的查重要求非常严格，代码雷同也算作抄袭

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