一、本文先简单地介绍一下Green 函数，

第一部分内容来自于文献
[0]BI-GreenNet: Learning Green’s Functions by Boundary Integral Network
[1] Evans, L.C.: Partial Differential Equations. American Mathematical Society, Providence, R.I. (2010)
[2]Learning Elliptic Partial Differential Equations with Randomized Linear Algebra

Interior problem(内点问题)

Exterior problem(外点问题)

此处 L \mathcal{L} L 是微分算子。为了方便，将方程(2.1)和(2.2)总结为：

格林函数

本文中, 我们关注泊松方程和亥姆霍兹方程, i.e., L = − Δ \mathcal{L}=-\Delta L=−Δ or L = − Δ − k 2 \mathcal{L}=-\Delta-k^2 L=−Δ−k2 , 此处 k k k是波数。

根据文献[1]，我们可以使用如下的格林函数 G : Ω × Ω ⟶ R + ∪ { ∞ } G:\Omega\times \Omega\longrightarrow\mathbb{R}^{+}\cup\{\infty\} G:Ω×Ω⟶R+∪{∞}, 得到方程 (2.3)的解析解

此处， G ( x , y ) G(x,y) G(x,y) 是一个二维函数，满足

当 g = 0 g=0 g=0时，那么

( f , u ) (f,u) (f,u)是个输入输出对， f f f为源。

Seeking G, as opposed to L, has several theoretical benefits[2]:

第二部分内容来自：Learning Green’s functions associated with time-dependent partial differential equations

第三部分内容来自文献: MOD-Net: A Machine Learning Approach via Model-Operator-Data Network for Solving PDEs

第四部分内容来自文献:Neural Green’s function for Laplacian systems

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