椭圆型变分问题理论及数值方法

1.前言
2.由椭圆型方程到变分不等式
- 2.1简单情况
- 2.2障碍问题
- 2.3非齐次Neumann问题
3.解的存在性与唯一性
附录
参考文献

张少杰 浙江大学数学科学学院

1.前言

变分不等式是一类重要的非线性问题，一些复杂的物理过程可以用变分不等式在描述. 本文主要基于《Theoretical Numerical Analysis》[1]{}^{[1]}[1]的第11章¹. 同时参考[2],[3][2],[3][2],[3]整理而成.

对于椭圆型偏微分方程，往往使用有限元方法计算其数值解. 正如冯康院士首次发现有限元方法时称之为基于变分原理的差分方法，研究椭圆型变分不等式(elliptic variational inequalities, EVIs)至关重要. 椭圆型变分不等式根据其物理学背景，往往具有较好的性质. 因此可以研究其解的存在性，唯一性，稳定性等.

2.由椭圆型方程到变分不等式

椭圆型偏微分方程和变分不等式存在广泛的联系. 对于实际的物理问题，则又会与能量泛函的极小化等价.

2.1简单情况

考虑最经典的椭圆型偏微分方程，即Poisson方程
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其中Ω⊂Rd\Omega\subset \R^dΩ⊂Rd. 给定测试函数空间为H01(Ω)H^1_0(\Omega)H01(Ω)，有下面的弱形式
u∈H01(Ω)∫Ω∇u⋅∇v dx=∫Ωfvdx,∀v∈H01(Ω).u\in H_0^1(\Omega)\qquad \int_\Omega\nabla u\cdot\nabla v \;dx = \int_\Omega fv dx,\qquad\forall v\in H^1_0(\Omega). u∈H01(Ω)∫Ω∇u⋅∇vdx=∫Ωfvdx,∀v∈H01(Ω).

由Lax-Margin引理，可得问题(2)(2)(2)有唯一解. 进一步还可以得到问题(2)(2)(2)等价于极小化问题
u∈H01(Ω),E(u)=inf⁡v∈H01(Ω)E(v)u\in H_0^1(\Omega),\qquad E(u)=\inf_{v\in H^1_0(\Omega)} E(v) u∈H01(Ω),E(u)=v∈H01(Ω)infE(v)
其中
E(v)=∫Ω(12∣∇v∣2−fv)dx.E(v) = \int_\Omega \left( \frac12|\nabla v|^2-fv \right)dx. E(v)=∫Ω(21∣∇v∣2−fv)dx.

这是因为
E′(u)v=lim⁡t→0E(u+tv)−E(u)t=∫Ω(∇u⋅∇v−fv)dx.\begin{aligned} E'(u)v = \lim_{t\to0}\frac{E(u+tv)-E(u)}t=\int_{\Omega}(\nabla u\cdot\nabla v-fv)dx. \end{aligned} E′(u)v=t→0limtE(u+tv)−E(u)=∫Ω(∇u⋅∇v−fv)dx.
这说明EEE在uuu处取到泛函的极值. 又有
E′′(u)(v,w)=lim⁡t→0∫Ω[∇(u+tw)∇v−fv]dx−∫Ω[∇u∇v−fv]dxt=∫Ω∇v⋅∇w dx\begin{aligned} E''(u)(v,w) = \lim_{t\to0}\frac{\int_\Omega[\nabla(u+tw)\nabla v-fv]dx- \int_\Omega[\nabla u\nabla v-fv]dx}{t} = \int_\Omega\nabla v\cdot\nabla w\;dx \end{aligned} E′′(u)(v,w)=t→0limt∫Ω[∇(u+tw)∇v−fv]dx−∫Ω[∇u∇v−fv]dx=∫Ω∇v⋅∇wdx
根据∫Ω(∇v)2 dx>0\displaystyle \int_\Omega (\nabla v)^2\;dx>0∫Ω(∇v)2dx>0，及E(u+tv)=E(u)+12t2∫Ω(∇v)2 dxE(u+tv)=E(u)+\frac12t^2\displaystyle \int_\Omega (\nabla v)^2\;dxE(u+tv)=E(u)+21t2∫Ω(∇v)2dx，可知EEE在uuu处取到的最小值.

2.2障碍问题

障碍问题描述的是一张弹性膜，在区域Ω\OmegaΩ上收到力fff，且膜沿边界Γ\GammaΓ是固定的(可令u=0 on Γu=0 \;\mathrm{on}\;\Gammau=0onΓ)，障碍函数为ψ\psiψ.

由力学中的能力最小原理可知，位移uuu是能量最小时膜的位置，能力泛函EEE由等式(4)(4)(4)给定. 故障碍问题可以表述为
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其中
K={v∈H01(Ω):v≥ψ  a.e. in Ω},ψ∈H2(Ω),ψ≤0 on Ω,f∈L2(Ω).\begin{aligned} & K = \{v \in H^1_0(\Omega):v\ge\psi \;\; \mathrm{a.e. \,in\,}\Omega\}, \\ & \psi \in H^2(\Omega) ,\qquad \psi \le0 \;\mathrm{on} \;\Omega,\qquad f\in L^2(\Omega). \end{aligned} K={v∈H01(Ω):v≥ψa.e.inΩ},ψ∈H2(Ω),ψ≤0onΩ,f∈L2(Ω).
同之前，由E′(u)(v−u)≥0E'(u)(v-u)\ge 0E′(u)(v−u)≥0可得变分不等式
u∈K,∫Ω∇u∇(v−u)dx≥∫Ωf(v−u)dx,∀v∈Ku\in K,\qquad \int_\Omega \nabla u\nabla(v-u) dx\ge \int_\Omega f(v-u)dx,\qquad\forall v\in K u∈K,∫Ω∇u∇(v−u)dx≥∫Ωf(v−u)dx,∀v∈K

令v=u+ϕv=u+\phiv=u+ϕ，即有ϕ∈C0∞(Ω)\phi\in C_0^\infty(\Omega)ϕ∈C0∞(Ω). 由分部积分公式可得
∫Ω(−Δu−f)ϕ dx≥0,ϕ≥0 in Ω\begin{aligned} \int_{\Omega} (-\Delta u-f)\phi \;dx\ge0,\qquad \phi\ge 0\;\mathrm{in} \;\Omega \end{aligned} ∫Ω(−Δu−f)ϕdx≥0,ϕ≥0inΩ
现将Ω\OmegaΩ分为非接触区域和接触区域：
Ω+={x∈Ω:u(x)>ψ(x)},Ω0={x∈Ω:u(x)=ψ(x)},\begin{aligned} \Omega^+=\{x\in\Omega:u(x)>\psi(x)\}, \\ \Omega^0=\{x\in\Omega:u(x)=\psi(x)\}, \end{aligned} Ω+={x∈Ω:u(x)>ψ(x)},Ω0={x∈Ω:u(x)=ψ(x)},
即有−Δu−f≥0,∀x∈Ω0-\Delta u-f\ge 0,\forall x\in\Omega^0−Δu−f≥0,∀x∈Ω0. 当x∈Ω+x\in \Omega^+x∈Ω+时，用−ϕ-\phi−ϕ替代ϕ\phiϕ，可得反向的变分不等式成立，因此有−Δu−f=0-\Delta u-f=0−Δu−f=0.

综上，障碍问题的变分不等式(5)(5)(5)对应的微分边值问题为：
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2.3非齐次Neumann问题

考虑检测函数空间V=H1(Ω)V=H^1(\Omega)V=H1(Ω)，能量泛函为
E(v)=∫Ω[12(∣∇v∣2+v2)−fv]dx+g∫Γ∣v∣fs\begin{aligned} E(v)=\int_\Omega \left[ \frac12(|\nabla v|^2+v^2)-fv\right]dx+g\int_\Gamma|v|fs \end{aligned} E(v)=∫Ω[21(∣∇v∣2+v2)−fv]dx+g∫Γ∣v∣fs
其中g>0,f∈L2(Ω)g>0,f\in L^2(\Omega)g>0,f∈L2(Ω)给定. 注意到的是，该能量泛函不可微.

则泛函极小化问题
u∈VE(u)=inf⁡v∈VE(v)u\in V\qquad E(u)=\inf_{v\in V}E(v) u∈VE(u)=v∈VinfE(v)
与下面的变分不等式问题等价,
u∈V,∫Ω[∇u⋅∇(v−u)+u(v−u)]dx+g∫Γ(∣v∣−∣u∣)ds≥∫Ωf(v−u)ds,∀v∈V.(2)\begin{aligned} u\in V,\qquad \int_\Omega [ \nabla u \cdot \nabla(v-u)&+u(v-u) ]dx+g\int_\Gamma(|v|-|u|)ds \\ &\ge \int_\Omega f(v-u)ds,\qquad \forall v\in V. \end{aligned} \qquad (2) u∈V,∫Ω[∇u⋅∇(v−u)+u(v−u)]dx+g∫Γ(∣v∣−∣u∣)ds≥∫Ωf(v−u)ds,∀v∈V.(2)
证明同样是用到Ga^teauxG\hat ateauxGa^teaux微分，见后面定理3.2.

该问题相应的问题为：
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其边值条件等价于
∣∂u∂ν∣<g⟹u=0∂u∂ν=g⟹u≤0∂u∂ν=−g ⟹u≥0\begin{aligned} \left| \frac{\partial u}{\partial \nu}\right| <g\qquad &\Longrightarrow \qquad u=0 \\ \frac{\partial u}{\partial \nu}=g \qquad &\Longrightarrow \qquad u\le0 \\ \frac{\partial u}{\partial \nu}=-g\quad \; &\Longrightarrow \qquad u\ge0 \end{aligned} ∣∣∣∣∂ν∂u∣∣∣∣<g∂ν∂u=g∂ν∂u=−g⟹u=0⟹u≤0⟹u≥0

3.解的存在性与唯一性

凸优化是处理很多椭圆型变分不等式的好途径. 有一个基本的定理为：

定理 3.1:

若KKK是赋范空间VVV的非空凸子集，且f:K→Rf:K\to\Rf:K→R是凸的且Ga^teauxG\hat ateauxGa^teaux可微的. 则存在u∈Ku\in Ku∈K使得
f(u)=inf⁡v∈Kf(v)\begin{aligned} f(u) = \inf_{v\in K} f(v) \end{aligned} f(u)=v∈Kinff(v)
成立，当且仅当存在u∈Ku\in Ku∈K使得
<f′(u),v−u>≥0,∀v∈K\begin{aligned} \left< f'(u),v-u\right> \ge 0,\qquad \forall v\in K \end{aligned} ⟨f′(u),v−u⟩≥0,∀v∈K
当KKK为子空间时，不等式退化为等式
<f′(u),v>=0,∀v∈K.\begin{aligned} \left< f'(u),v\right> = 0,\qquad \forall v\in K. \end{aligned} ⟨f′(u),v⟩=0,∀v∈K.

证明从略. 定理3.1可拓展为定理3.2，用于处理2.3节中的泛函不可微的情况.

定理 3.2：

若KKK是赋范空间VVV的非空凸子集，且f:K→R, j:K→Rf:K\to\R,\,j:K\to \Rf:K→R,j:K→R是凸映射，fff是Ga^teauxG\hat ateauxGa^teaux可微的. 则
u∈K,f(u)+j(u)=inf⁡v∈K[f(v)+j(v)]u\in K,\qquad f(u)+j(u)=\inf_{v\in K}[f(v)+j(v)] u∈K,f(u)+j(u)=v∈Kinf[f(v)+j(v)]
当且仅当
u∈K,<f′(u),v−u>+j(v)−j(u)≥0,∀v∈K.u\in K,\qquad \left< f'(u),v-u \right> + j(v)-j(u) \ge 0,\qquad \forall v\in K. u∈K,⟨f′(u),v−u⟩+j(v)−j(u)≥0,∀v∈K.
证明：

必要性：对任意v∈Kv\in Kv∈K和t∈(0,1)t\in(0,1)t∈(0,1)，有u+t(v−u)=tv+(1−t)u∈Ku+t(v-u)=tv+(1-t)u\in Ku+t(v−u)=tv+(1−t)u∈K，故
f(u)+j(v)≤f(u+t(v−u))+j(u+t(v−u))≤f(u+t(v−u))+(1−t)j(u)+tj(v).\begin{aligned} f(u)+j(v) &\le f(u+t(v-u)) +j(u+t(v-u)) \\ &\le f(u+t(v-u)) +(1-t)j(u)+tj(v). \end{aligned} f(u)+j(v)≤f(u+t(v−u))+j(u+t(v−u))≤f(u+t(v−u))+(1−t)j(u)+tj(v).
即
1t[f(u+t(v−u))−f(u)]+j(v)−j(u)∀t∈(0,1)\begin{aligned} \frac1t \left[ f(u+t(v-u))-f(u) \right] +j(v)-j(u)\qquad \forall t\in(0,1) \end{aligned} t1[f(u+t(v−u))−f(u)]+j(v)−j(u)∀t∈(0,1)
再使t→0+t\rightarrow 0^+t→0+，则有(12)(12)(12)式成立.

充分性：由于fff是凸函数，故
f(v)≥f(u)+<f′(u),v−u>.\begin{aligned} f(v)\ge f(u)+\left< f'(u) ,v-u\right>. \end{aligned} f(v)≥f(u)+⟨f′(u),v−u⟩.
从而对任意v∈Kv\in Kv∈K，
f(v)+j(v)≥f(u)+j(v)+<f′(u),v−u>≥f(u)+j(u)\begin{aligned} f(v)+j(v)&\ge f(u)+j(v)+\left< f'(u) ,v-u\right> \\ &\ge f(u)+j(u) \end{aligned} f(v)+j(v)≥f(u)+j(v)+⟨f′(u),v−u⟩≥f(u)+j(u)

□\Box□

若赋予更强的条件，比如将∫Ω∇u⋅∇v dx\displaystyle\int_\Omega \nabla u\cdot\nabla v\;dx∫Ω∇u⋅∇vdx看作双线性泛函a(u,v)a(u,v)a(u,v)，其满足椭圆性条件，则根据Lax-Mligram引理（见附录），则还可以第2节的三个问题的解都具有唯一性.

##4. 一族EVIs的解的存在唯一性

首先给定以下定义

strongly monotone：A:V→VA:V\rightarrow VA:V→V满足，存在c0>0c_0>0c0>0使得
(A(u)−A(v),u−v)≥c0∣∣u−v∣∣2,∀u,v∈V.(A(u)-A(v),u-v)\ge c_0||u-v||^2,\qquad \forall u,v \in V. (A(u)−A(v),u−v)≥c0∣∣u−v∣∣2,∀u,v∈V.
Lipschitz连续：A:V→VA:V\rightarrow VA:V→V满足，存在M>0M>0M>0使得
∣∣A(u)−A(v)∣∣≤M∣∣u−v∣∣,∀u,v∈V.||A(u)-A(v)||\le M||u-v||,\qquad \forall u,v\in V. ∣∣A(u)−A(v)∣∣≤M∣∣u−v∣∣,∀u,v∈V.
lower semi-continous(l.s.c.l.s.c.l.s.c.)：j:V→R‾≡R∪{±∞}j:V\rightarrow \overline \R\equiv R\cup\{\pm\infty\}j:V→R≡R∪{±∞}满足
vn⟶n→∞v in V⟹j(v)≤lim inf⁡n→∞j(vn).v_n\overset{n\to\infty}\longrightarrow v \;\mathrm{in}\; V\quad\Longrightarrow\quad j(v)\le\liminf_{n\rightarrow\infty} j(v_n). vn⟶n→∞vinV⟹j(v)≤n→∞liminfj(vn).

定理 4.1：²

令VVV是实Hilbert空间，KKK是VVV的非空闭凸集. 设A:V→VA:V\rightarrow VA:V→V是srtongly monotone且Lipschitz连续，j:K→Rj:K\rightarrow \Rj:K→R是凸的且l.s.c.l.s.c.l.s.c.，则对任意f∈Vf\in Vf∈V，椭圆性变分不等式
u∈K,(A(u),v−u)+j(v)−j(u)≥(f,v−u),∀v∈K,u\in K,\qquad (A(u),v-u) + j(v)-j(u) \ge (f,v-u),\qquad \forall v\in K, u∈K,(A(u),v−u)+j(v)−j(u)≥(f,v−u),∀v∈K,
有唯一解，且解uuu关于fff是Lipschitz连续的.

称形如A(u,v−u)≥(f,v−u)A(u,v-u)\ge(f,v-u)A(u,v−u)≥(f,v−u)的变分不等式为第一类变分不等式，而对于形如(16)(16)(16)含有不可微分项的变分不等式为第二类变分不等式，例如2.3节中给出的例子.

在对变分不等式数值解法收敛性的分析中，Minty引理十分重要.

定理4.2：(Minty Lemma)

假设定理4.1中的条件成立，在有限维空间中AAA的Lipschitz连续条件减弱为连续性条件，

附录

###Lax-Milgram 引理

设V\mathbb VV是Hilbert空间，a(⋅,⋅):V×V→Ra(\cdot,\cdot):\mathbb V\times \mathbb V \rightarrow \mathbb Ra(⋅,⋅):V×V→R，是一个连续的双线性泛函，且满足椭圆性条件(也称强制性条件)：
∃δ0>0,使得a(u,u)≥δ0∣∣u∣∣2,∀u∈V,\begin{aligned} \exist \delta_0 > 0,\qquad \text{使得} a(u,u) \ge \delta_0||u||^2,\qquad \forall u \in \mathbb V, \end{aligned} ∃δ0>0,使得a(u,u)≥δ0∣∣u∣∣2,∀u∈V,
又设f:V→Rf:\mathbb V\rightarrow \mathbb Rf:V→R是一个连续的线性泛函，则抽象变分问题
{求u∈V，使得a(u,v)=f(v),∀v∈V\left \{ \begin{aligned} & 求u \in \mathbb V，使得 \\ & a(u,v) = f(v) ,\qquad \forall v \in \mathbb V \end{aligned} \right . {求u∈V，使得a(u,v)=f(v),∀v∈V
存在唯一解.

证：由双线性泛函的连续性可知，存在常数δ1>0\delta_1>0δ1>0使得
a(u,v)≤δ1∣∣u∣∣⋅∣∣v∣∣,∀u,v∈V.a(u,v)\le \delta_1||u||\cdot||v||,\qquad \forall u,v\in\mathbb V. a(u,v)≤δ1∣∣u∣∣⋅∣∣v∣∣,∀u,v∈V.

对任意u∈Vu \in \mathbb Vu∈V，由v∈V↦a(u,v)v\in\mathbb V \mapsto a(u,v)v∈V↦a(u,v)是连续线性泛函知，存在唯一的A(u)∈V∗A(u)\in \mathbb V^*A(u)∈V∗，使得

A(u)v=a(u,v),∀v∈V.\begin{aligned} A(u)v = a(u,v) ,\quad \forall v\in \mathbb V. \end{aligned} A(u)v=a(u,v),∀v∈V.

易知，AAA是由V\mathbb VV到其对偶空间V∗\mathbb V^*V∗的有界线性映射，且

∣∣A∣∣L(V,V∗)≜sup⁡u∈V, ∣∣u∣∣=1∣∣A(u)∣∣V∗=sup⁡u∈V, ∣∣u∣∣=1sup⁡v∈V, ∣∣v∣∣=1∣A(u)v∣≤δ1.\begin{aligned} ||A||_{\mathfrak{L}(\mathbb V,\mathbb V^*)} \triangleq \sup_{u\in \mathbb V,\,||u||=1}||A(u)||_{\mathbb V^*} = \sup_{u\in \mathbb V,\,||u||=1} \sup_{v\in \mathbb V,\,||v||=1}|A(u)v| \le \delta_1. \end{aligned} ∣∣A∣∣L(V,V∗)≜u∈V,∣∣u∣∣=1sup∣∣A(u)∣∣V∗=u∈V,∣∣u∣∣=1supv∈V,∣∣v∣∣=1sup∣A(u)v∣≤δ1.

记τ:V∗→V\tau : \mathbb V^* \rightarrow \mathbb Vτ:V∗→V为Riesz映射. 由定义有
f(v)=⟨τf,v⟩,∀v∈V,\begin{aligned} f(v)= \langle \tau f,v \rangle ,\quad \forall v\in \mathbb V, \end{aligned} f(v)=⟨τf,v⟩,∀v∈V,
其中⟨⋅,⋅⟩\langle \cdot ,\cdot\rangle⟨⋅,⋅⟩为V\mathbb VV上的内积。于是求解的问题等价于求解以下的问题：

{求u∈V, 使得τA(u)=τf.\left \{ \begin{aligned} & \text{求}u\in\mathbb V,\,\text{使得} \\ & \tau A(u)=\tau f. \\ \end{aligned} \right. {求u∈V,使得τA(u)=τf.

定义映射
F:V→V,F(v)=v−ρ(τA(v)−τf),\begin{aligned} &F:\mathbb V\rightarrow\mathbb V, \\ &F(v)=v-\rho(\tau A(v)-\tau f), \\ \end{aligned} F:V→V,F(v)=v−ρ(τA(v)−τf),
其中ρ>0\rho>0ρ>0为待定参数，则求解问题的解等价于求F(⋅)F(\cdot)F(⋅) 的不动点. 有
⟨τA(v),v⟩=A(v)v=a(v,v)≥δ0∣∣v∣∣2,∣∣τA(v)∣∣=∣∣A(v)∣∣V∗≤∣∣A∣∣L(V,V∗)∣∣v∣∣≤δ1∣∣v∣∣.\begin{aligned} &\langle \tau A(v),v \rangle =A(v)v =a(v,v) \ge \delta_0 ||v||^2, \\ &||\tau A(v)|| =||A(v)||_{\mathbb V^*} \le ||A||_{\mathfrak{L}(\mathbb V,\mathbb V^*)} ||v|| \le \delta_1 ||v|| . \\ \end{aligned} ⟨τA(v),v⟩=A(v)v=a(v,v)≥δ0∣∣v∣∣2,∣∣τA(v)∣∣=∣∣A(v)∣∣V∗≤∣∣A∣∣L(V,V∗)∣∣v∣∣≤δ1∣∣v∣∣.
因此，对任意给定的ρ∈(0,2δ0/δ12)\rho \in (0,2 \delta_0 / \delta_1^2)ρ∈(0,2δ0/δ12)，有
∣∣F(w+v)−F(w)∣∣2=∣∣v∣∣2−2ρ⟨τA(v),v⟩+ρ2∣∣τA(v)∣∣2≤(1−2ρδ0+ρ2δ12)∣∣v∣∣2<∣∣v∣∣2,\begin{aligned} || F(w+v) -F(w) || ^2 &= ||v||^2 -2\rho \langle \tau A(v),v \rangle +\rho^2 || \tau A(v) ||^2 \\ &\le (1-2\rho\delta_0+\rho^2{\delta_1}^2)||v||^2 < ||v||^2 , \\ \end{aligned} ∣∣F(w+v)−F(w)∣∣2=∣∣v∣∣2−2ρ⟨τA(v),v⟩+ρ2∣∣τA(v)∣∣2≤(1−2ρδ0+ρ2δ12)∣∣v∣∣2<∣∣v∣∣2,
即F:V→VF:\mathbb V \rightarrow \mathbb VF:V→V为压缩映射. 由此及压缩映射原理知FFF在V\mathbb VV中存在唯一的不动点，这就证明了解的唯一性.

参考文献

[1] Kendall Atkinson, and Weimin Han, Theoretical Numerical Analysis[M], Springer, 2009.
[2] 李治平, 偏微分方程数值解讲义[M], 北京大学出版社, 2010.
[3]王烈衡, 许学军, 有限元方法的数学基础, 科学出版社, 2004.

第11章标题：Elliptic Variational Inequalities and Their Numerical Approximations. ↩︎
证明较长，见参考文献[1]，p431-p432. ↩︎