图论建模-杀人游戏

杀人游戏

[中山市选]杀人游戏
题目描述一位冷血的杀手潜入Na-wiat，并假装成平民。警察希望能在 N N N个人里面，查出谁是杀手。警察能够对每一个人进行查证，假如查证的对象是平民，他会告诉警察，他认识的人，谁是杀手，谁是平民。假如查证的对象是杀手，杀手将会把警察干掉。现在警察掌握了每一个人认识谁。每一个人都有可能是杀手，可看作他们是杀手的概率是相同的。
问：根据最优的情况，保证警察自身安全并知道谁是杀手的概率最大是多少？
输入格式
第一行有两个整数 N , M N,M N,M。
接下来有 M M M 行，每行两个整数 x , y x,y x,y，表示 x x x 认识 y y y（ y y y 不一定认识 x x x ,例如President同志）。
注：原文zz敏感内容已替换
输出格式
仅包含一行一个实数，保留小数点后面 6 6 6 位，表示最大概率。
样例 #1

样例输入 #1

样例输出 #1

0.800000

提示

警察只需要查证 1 1 1。假如 1 1 1是杀手，警察就会被杀。假如 1 1 1不是杀手，他会告诉警察 2 , 3 , 4 , 5 2,3,4,5 2,3,4,5谁是杀手。而 1 1 1是杀手的概率是 0.2 0.2 0.2，所以能知道谁是杀手但没被杀的概率是 0.8 0.8 0.8。

对于 100 % 100\% 100%的数据有 1 ≤ N ≤ 100000 , 0 ≤ M ≤ 300000 1≤N≤100000,0≤M≤300000 1≤N≤100000,0≤M≤300000。
题意简述：给定一张有向图上有 n n n个点，每个点都有同等的概率为黑点，黑点只有一个，从一个节点出发可以知道所有可达点度数，求确定黑点的概率。

如何想到图论建模呢，事实上，当我们面对类似于这种单向的二元关系问题，并且需要借助关系确定某些信息时，便可以想图论建模的思路

那么梳理一下思路，如果我们将每个人认识的人进行连一条有向边，记作 ( u , v ) (u,v) (u,v)，那么我们再来考虑这张图

很明显，如果若干个点处于同一个 S C C SCC SCC之中，问哪一个元素都是一样的，这启发我们将图缩点，变成一个 D A G DAG DAG，因为是在最优情况下，于是我们可以思考如何用最少的次数确定每一个元素

引理

一般情况下，确定每一个元素的颜色，最少的操作次数一定为零入度点的个数，
先证必要性：

显然，零入度点不可能被其他点所确定，故至少需要零入度点个数的操作次数才能覆盖整张图

再证充分性：

一个点 v v v被覆盖当且仅当至少存在一条边 ( u , v ) (u,v) (u,v)且 u u u被覆盖，那么我们对于每一个点类似递归思想一直追溯到不存在这样的边，此时这个最后追溯到的点确定之后 v v v也就确定了，故数学归纳法易证

然后我们来思考有无特殊情况，考虑原图中的一个点 p p p在怎样的情况下才可以不选择而被确定。若 p p p点是一个孤立点，亦或者它所连的点的度数均大于等于2，此时这个点就可以先不急着需要它的颜色，那么我们可以将其放在最后解决，那么在所有满足要求的点 p p p中，有一个点会因为其他所有点都被确定了而无需确定，这样就可以少选一次
Q E D . QED. QED.

结合引理，我们得到了本题的算法流程

建图,执行缩点
对于缩点后的 D A G DAG DAG，统计零入度点数量，记为 c c c，统计是零入度点，所在强连通分量大小为1并且满足其所连接的强连通分量的入度均大于1的 S C C SCC SCC数量，记为 p p p
最终答案为： a n s = n − c + m i n ( p , 1 ) n ans=\frac{n-c+min(p,1)}{n} ans=nn−c+min(p,1)

对于本题需要注意的点是，在缩点建立新图的时候，很有可能出现重边的情况，大部分使用 m a p map map进行优化，速度较慢，这里有一个更快的方式：

注意我们的 T a r j a n Tarjan Tarjan已经可以求出每一个 S C C SCC SCC包含哪些点了，我们可以设一个大小为 n n n的一维数组 v i s vis vis，对于编号为 i ∈ [ 1 , c n t ] i\in[1,cnt] i∈[1,cnt]的强连通分量进行考虑

清空 v i s vis vis，这一步可以开一个 v e c t o r vector vector记录上一个强连通分量所连接的强连通分量进行撤销，保证复杂度
遍历第 i i i个强连通分量的元素 u u u，对 u u u执行操作3
遍历 u u u的所有出边，在同一个强连通分量的不管，不在同一个强连通分量的，设后继点为 v v v，则若 v i s [ c [ v ] ] vis[c[v]] vis[c[v]]未曾标记，将其入度加一并标记，若被标记，则不管

时间复杂度 O ( M ) O(M) O(M)

本题总时间复杂度： O ( M + N ) = O ( M ) O(M+N)=O(M) O(M+N)=O(M)

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<cstring>
#include<vector>
#include<stack>
using namespace std;
#define N 150000
#define M 650000
int head[N],n,m,ans,p,num,ver[M],nxt[M],c[N],siz[N],in[N],cnt[N],tot,scc_cnt,vis[N],dfn[N],low[N],s[N],inn[N];
int shead[N],sver[M],snxt[M],stot;
void add_s(int u,int v){snxt[++stot]=shead[u],sver[shead[u]=stot]=v;
}
vector<int>scc[N];
stack<int>t;
void add(int u,int v){nxt[++tot]=head[u],ver[head[u]=tot]=v;
}
void tarjan(int u){t.push(u);vis[u]=1;dfn[u]=low[u]=++num;for(int i=head[u];i;i=nxt[i]){int v=ver[i];if(!dfn[v]){tarjan(v);low[u]=min(low[u],low[v]);}else if(vis[v])low[u]=min(low[u],dfn[v]);}if(dfn[u]==low[u]){int v;scc_cnt++;do{v=t.top();t.pop();vis[v]=0;scc[scc_cnt].push_back(v);c[v]=scc_cnt;siz[scc_cnt]++;}while(u!=v);}
}
bool check(int a){for(int i=0;i<scc[a].size();i++){int u=scc[a][i];for(int i=head[u];i;i=nxt[i]){int v=ver[i];if(c[u]==c[v])continue;if(in[c[v]]<2)return true;}}return false;
}
void solve(){if(n==1){printf("1.000000\n");return ;};for(int i=1;i<=scc_cnt;i++){int num=0;cnt[i]=1;for(int j=0;j<siz[i];j++){int u=scc[i][j];for(int k=head[u];k;k=nxt[k]){if(cnt[c[ver[k]]])continue;in[c[ver[k]]]++;cnt[c[ver[k]]]=1;s[++num]=c[ver[k]];}} cnt[i]=0;while(num)cnt[s[num--]]=0;}int ans1=0,flag=1;for(int i=1;i<=scc_cnt;i++){if(in[i]==0){ans1++;}}if(ans1==1){printf("%.6f\n",1.0-1.0/n);return ;}for(int i=1;i<=scc_cnt;i++)if(in[i]==0&&!check(i)){ans1--;break;}printf("%.6f\n",1.0*(n-ans1)/n);return ;
}
void init(){scanf("%d%d",&n,&m);for(int i=1;i<=m;i++){int u,v;scanf("%d%d",&u,&v);add(u,v);inn[v]++;}for(int i=1;i<=n;i++)if(!dfn[i])tarjan(i);solve();
}
int main(){init();
}

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