基本不等式凸函数拉格朗日乘子

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基本不等式及其证明
- 证明M2‾≤M3‾\overline{M2}\leq\overline{M3}M2≤M3
- 证明M1‾≤M2‾\overline{M1}\leq\overline{M2}M1≤M2
- 证明M3‾≤M4‾\overline{M3}\leq\overline{M4}M3≤M4
- - 对凸函数理解为：
  - 拉格朗日乘子
  - Jensen不等式

基本不等式及其证明

调和平均值：M1‾=n1x1+1x2+...+1xn\overline{M_1}=\frac{n}{\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}+...+\frac{1}{x_n}}M1=x11+x21+...+xn1n
几何平均值：M2‾=x1x2...xnn\overline{M_2}=\sqrt[n]{x_1x_2...x_n}M2=nx1x2...xn
算术平均值：M3‾=x1+x2+...+xnn\overline{M_3}=\frac{x_1+x_2+...+x_n}{n}M3=nx1+x2+...+xn
平方平均值：M4‾=x12+x22+...+xn2n\overline{M_4}=\sqrt{\frac{x_1^2+x_2^2+...+x_n^2}{n}}M4=nx12+x22+...+xn2

大小关系：M1‾≤M2‾≤M3‾≤M4‾(x1=x2=x3=...=xn)\overline{M_1}\leq\overline{M_2}\leq\overline{M_3}\leq\overline{M_4}\quad(x_1=x_2=x_3=...=x_n)M1≤M2≤M3≤M4(x1=x2=x3=...=xn)

证明M2‾≤M3‾\overline{M2}\leq\overline{M3}M2≤M3

证明M1‾≤M2‾\overline{M1}\leq\overline{M2}M1≤M2

证明M3‾≤M4‾\overline{M3}\leq\overline{M4}M3≤M4

对凸函数理解为：

上图我自己比较难理解所以由数学分析中表述为：
f为I上凸函数充要条件为：对于I上任意三点x1<x2<x3x_1<x_2<x_3x1<x2<x3总有f(x2)−f(x1)x2−x1≤f(x3)−f(x2)x3−x2\frac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1}\leq\frac{f(x_3)-f(x_2)}{x_3-x_2}x2−x1f(x2)−f(x1)≤x3−x2f(x3)−f(x2)
此处说法可理解为函数斜率再在增加，又可等价为f可导时，函数的导函数为增函数
图像可理解为向下凸的图像例如

进一步理解凸函数中（1）式=定理6.14.=下列论断等价(前提：f为区间I上可导函数):①f为I上凸函数⟺\Longleftrightarrow⟺②f’为I上增函数⟺\Longleftrightarrow⟺③I上任意两点x1,x2,f(x2)≥f(x1)+f′(x1)(x2−x1)x_1,x_2,f(x_2)\geq f(x_1)+f'(x_1)(x_2-x_1)x1,x2,f(x2)≥f(x1)+f′(x1)(x2−x1)
①推②：任意找两点做导数极限判别大小
②推③：
lagrange中值定理得到[a,b]连续,(a,b)可导时满足f′(ξ)=f(b)−f(a)b−a以x1,x2两点为端点的区间由f′的增函数条件可得：f(x2)−f(x1)=f′(ξ)(x2−x1)≥f′(x1)(x2−x1)变形可得到上式③lagrange中值定理得到[a,b]连续,(a,b)可导时满足f'(\xi)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}\\ 以x_1,x_2两点为端点的区间由f'的增函数条件可得：\\ f(x_2)-f(x_1)=f'(\xi)(x_2-x_1)\geq f'(x_1)(x_2-x_1)变形可得到上式③ lagrange中值定理得到[a,b]连续,(a,b)可导时满足f′(ξ)=b−af(b)−f(a)以x1,x2两点为端点的区间由f′的增函数条件可得：f(x2)−f(x1)=f′(ξ)(x2−x1)≥f′(x1)(x2−x1)变形可得到上式③
③推①：

拉格朗日乘子

一般解决条件极值问题比较方便

条件极值问题：
条件组限制下：ϕk(x1,x2,...,xn)=0k=1,2,...,m(m<n)条件组限制下：\phi_k(x_1,x_2,...,x_n)=0 \quad k=1,2,...,m\quad(m<n)条件组限制下：ϕk(x1,x2,...,xn)=0k=1,2,...,m(m<n)
求目标函数：y=f(x1,x2,...,xn)求目标函数：y=f(x_1,x_2,...,x_n)求目标函数：y=f(x1,x2,...,xn)
lagrange乘数法就是一种不依赖消元而求解条件极值问题的有效方法lagrange乘数法就是一种不依赖消元而求解条件极值问题的有效方法lagrange乘数法就是一种不依赖消元而求解条件极值问题的有效方法

Jensen不等式

这里还不太明白所以先挖坑
稍后要总结一下隐函数和拉格朗日乘子的其他内容

上述内容参考：
献给高中生——均值不等式与Jensen不等式
均值不等式的四大证明方法合辑…
Jensen不等式初步理解及证明
凸函数与凹函数
[数学分析华东师大版第四版上下册]（这个有需要大家可以私信pdf或者自己买哈）