球坐标系下的两点距离公式

https://blog.csdn.net/yu412346928/article/details/42966001

已知两点经纬度计算球面距离的公式，一搜一大堆，形式如下：

可是至于这个公式为什么是这样的，今天推导了一下，详细推导过程如下。首先画个图（图1），要不然空间想象能力差的话容易犯糊涂。首先对图1做个大致的说明，红色的半圆表示赤道，蓝色的圆弧表示本初子午线（也就是经度为0的子午线）。球最上方是北极点，点A和点B分别为要计算的两个点，坐标分别为A（jA,wA）和B（jB，wB）。

图1 示意图

再开始推导之前，我们需要在图中绘制一些辅助线，便于后面的描述和推导。如图1所示，A（jA,wA），B（jB,wB）两点分别为球面上的两点，坐标为经纬度表示。延A、B两点分别做垂直于赤道平面的垂线交赤道面为C、D两点。连接C、D两点，然后过A做CD的平行线交BD与点E。至此，所有的辅助线绘制完毕。假设地球为一个规则的圆球，半径为R（其实地球是一个椭球体，赤道的半径比极地的半径稍微大一点点）。

第一步：确定已知条件，

第二步：在直角和直角中有：

第三步：在平面ABCD中，有：

第四步：在直角中，使用勾股定理可以得到AB的直线长度。如下：

第五步：这里需要引入一个公式（5），就是大名鼎鼎的余弦定理，假设三角形的三个角为A,B,C，则有：

把上面的公式（1）、（2）、（3）、（5）带入（4）中，然后整理可以得到：

最后，通过整理得到AB之间的直线距离为：

第六步：我们已经知道AB的直线距离，那么AB的弧长距离可以先通过计算中对应的圆心角，然后用弧长公式计算出来。这里在依旧使用余弦定理公式（5），经过变形可以得到：

把式（6）带入式（7），化简得到：

最终，我们得到了一个关于圆心角的余弦值的公式：

第七步：知道圆心角，计算弧长的公式很简单，使用半径乘以圆心角（弧度单位）即可：

所以最后我们就得到了球面上AB的距离应该是：

最后使用公式（10）就可以编写代码来计算球面上任意两点间的最短距离了。这里使用的是一个规则的球来代替的椭球的，肯定会有误差的，一般都用这个公式来进行计算。代码就不写了，也就一两句话就出来了。最后需要注意的就是，需要把经纬度都化成弧度单位。

…………………………………………………华丽的分割线………………………………………………
……………………………………以下内容更新于2013年1月30日…………………………………………

昨天使用立体几何的知识推导了一下球面两点的距离公式，发现比较复杂，今天想到一个简单的方法，使用空间直角坐标系来推导，很方便。首先我们需要建立一个空间坐标系：在赤道平面内，X轴由球心O指向本初子午线，Y轴在赤道平面内垂直于X轴，Z轴垂直于赤道平面朝向北极。还是假设AB两点的经纬度坐标为：A（jA，wA），B（jB，wB）。由该坐标系的定义以及经纬度的定义可以把上面的AB两点的坐标转换为该坐标系中的坐标如下：

由两点距离公式可以得到AB的直线距离为：

对于球面上的任意一个点（X，Y，Z），都有：

把上面的公式整理就可以得到（下面用到了一个积化和差公式）：

好了，大功告成，是不是比用立体几何要简单的多。接下来就是用上面的弦长和弧长的关系来计算AB的弧长就可以了。

球坐标系下的两点距离公式相关推荐

用tikz画球坐标系下的体积微元
最近上传热学,上来第一道作业就是球坐标系下导热微分方程的推导,我想着既然推导嘛,总得从画个好看的图开始
zedgraph 两点之间值_数轴上两点距离公式(绝对值几何意义)，中点公式
点击上方蓝字(沈阳奥数)可以关注我们,提供小学与初中的数学学习方法. 掌握数轴的基本概念后,已知数轴上两点的具体数值时,我们可以利用数轴算出两点间距离,以及中点表示的数值.但是如果给的是字母(大小关系 ...
matlab 球坐标系作图,使用Matlab的mapping tool在球坐标系下画图
尝试了一下在Matlab下,在地图上绘制数据,但是效果没有python的basemap这个好. 这里以卫星重力数据画图为例,记录一下使用过程. 数据来源 :采用Eigen6C4全球重力位模型,用开源软 ...
Helmholtz方程在球坐标系下的变量分离及Legendre方程的导出 | 特殊函数（三） |偏微分方程（二十五）
在球坐标曲面所围区域上讨论问题时,自然应采用求坐标 ( r , θ , φ ) (r,\theta,\varphi) (r,θ,φ),此时 L a p l a c e Laplace Laplace算 ...
▽算符在球坐标系_球坐标系下的角动量算符
我们课上用的教材(周世勋)计算角动量平方算符的表达式时使用的方法是将三个分量相加得到的表达式.其计算实在是令人望而生畏.况且和相比分量来说用处不大,并无单独计算出来的必要.因此我上课灵机一动 ...
python计算平面两点距离公式_python距离公式坐标平面误差
我的目标是使用围绕圆的边缘和恒定起点(圆圈的中间)的随机端点在pygame中使用线条形成圆形.所以我决定将pygame.draw.line函数:screen,aRandomColor,starting ...
近邻算法常用距离公式与推导（内附证明）初中生也能看懂
前言: 今天心血来潮想做一期关于距离计算公式的博文,思来想去什么办法才能证明自己理解了呢,一想如果自己能用大白话把这些公式讲出来,还能让别人听懂,那么自己应该就算是掌握了.为了挑战一下难度博主还将这些 ...
mysql计算两个经纬度之间的距离_mysql计算两个经纬度之间的距离公式
#1.两点距离(1.4142135623730951)select st_distance(point(0,0),point(1,1));select st_distance(point (120.1 ...
matlab中欠定方程组超定方程组_《数值天气预报》：球坐标系中的基本方程组
人们是如何预报天气的?目前的预报方法主要有两种:一种是基于由各种探测资料绘制的天气图,结合历史资料进行分析预测:另一种是基于大气方程组,利用数值解法对其进行求解,从而得到未来时刻的大气状态. 后者就是 ...

球坐标系下的两点距离公式

球坐标系下的两点距离公式相关推荐

最新文章

热门文章