1 算法原理简介

天鹰优化器（Aquila Optimizer, AO）是一种新型智能优化算法，由Laith Abualigah等于2021年提出。该算法具有多个探索和开发策略，实验表明，与其他的元启发式算法相比，天鹰优化器算法具有明显的优越性。该算法的灵感源自北美洲Aquila鸟捕食过程中的四个群体行为：1. 通过垂直高翱翔扩大搜寻范围，在飞行中狩猎鸟类；2. 通过短滑翔攻击的轮廓飞行，在靠近地面的低水平空中攻击猎物；3.通过低空飞行和慢下降逐渐攻击猎物；4. 通过俯冲在陆地上行走和抓取猎物。

与其他的动物园优化算法相似，天鹰优化器也是基于群体智能算法，因此在建立数学模型时，需要先随机初始化种群的位置矩阵X：

X=[x1,1⋯x1,jx1,Dim⁡−1x1,Dimx2,1⋯x2,j⋯x2,Dim⋯⋯xi,j⋯⋯⋮⋮⋮⋮⋮xN−1,1⋯xN−1,j⋯xN−1,DimxN,1⋯xN,jxN,Dim−1xN,Dim]X=\left[\begin{array}{ccccc} x_{1,1} & \cdots & x_{1, j} & x_{1, \operatorname{Dim}-1} & x_{1, D i m} \\ x_{2,1} & \cdots & x_{2, j} & \cdots & x_{2, D i m} \\ \cdots & \cdots & x_{i, j} & \cdots & \cdots \\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\ x_{N-1,1} & \cdots & x_{N-1, j} & \cdots & x_{N-1, D i m} \\ x_{N, 1} & \cdots & x_{N, j} & x_{N, D i m-1} & x_{N, D i m} \end{array}\right] X=⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎡x1,1x2,1⋯⋮xN−1,1xN,1⋯⋯⋯⋮⋯⋯x1,jx2,jxi,j⋮xN−1,jxN,jx1,Dim−1⋯⋯⋮⋯xN,Dim−1x1,Dimx2,Dim⋯⋮xN−1,DimxN,Dim⎦⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎤

Xij=rand⁡×(UBj−LBj)+LBj,i=1,2,…..,Nj=1,2,…,Dim⁡X_{i j}=\operatorname{rand} \times\left(U B_{j}-L B_{j}\right)+L B_{j}, \quad i=1,2, \ldots . ., N j=1,2, \ldots, \operatorname{Dim} Xij=rand×(UBj−LBj)+LBj,i=1,2,…..,Nj=1,2,…,Dim

式中，N表示种群规模，Dim表示搜索空间的维度。

1.1 扩大探索阶段

在第一阶段中， Aquila鸟群通过垂直高翱翔扩大搜寻范围，在飞行中狩猎鸟类，该部分的数学公式为：
X1(t+1)=Xbest(t)×(1−tT)+(XM(t)−Xbest(t)∗rand )X_{1}(t+1)=X_{b e s t}(t) \times\left(1-\frac{t}{T}\right)+\left(X_{M}(t)-X_{b e s t}(t) * \text { rand }\right) X1(t+1)=Xbest(t)×(1−Tt)+(XM(t)−Xbest(t)∗ rand )

XM(t)=1N∑i=1NXi(t),∀j=1,2,…,Dim⁡X_{M}(t)=\frac{1}{N} \sum_{i=1}^{N} X_{i}(t), \forall j=1,2, \ldots, \operatorname{Dim} XM(t)=N1i=1∑NXi(t),∀j=1,2,…,Dim

式中，X(t)和X(t+1)分别表示AO算法在第t次迭代和第t+1次迭代中的个体位置，Xbest(t)表示到第t次迭代为止算法获得的最佳个体为止，Xm(t)表示第t次迭代时的种群平均位置，T表示算法最大的迭代次数。

1.2 缩小探索阶段

在第二阶段中，当Aquila鸟群在高空中发现猎物时，鸟群会在目标猎物上方螺旋绕圈，准备着陆，然后进行攻击，数学公式为：

X2(t+1)=Xbest(t)×Lev⁡y(D)+XR(t)+(y−x)∗rand X_{2}(t+1)=X_{b e s t}(t) \times \operatorname{Lev} y(D)+X_{R}(t)+(y-x) * \text { rand } X2(t+1)=Xbest(t)×Levy(D)+XR(t)+(y−x)∗ rand

式中，Levy(D)Levy(D)Levy(D)表示莱维飞行分布策略，s是常数，取0.01，u和v是0到1之间的随机数，

Levy⁡(D)=s×u×σ∣v∣1β\operatorname{Levy}(D)=s \times \frac{u \times \sigma}{|v|^{\frac{1}{\beta}}} Levy(D)=s×∣v∣β1u×σ

σ=(Γ(1+β)×sin⁡e(πβ2)Γ(1+β2)×β×2(β−12))\sigma=\left(\frac{\Gamma(1+\beta) \times \sin e\left(\frac{\pi \beta}{2}\right)}{\Gamma\left(\frac{1+\beta}{2}\right) \times \beta \times 2^{\left(\frac{\beta-1}{2}\right)}}\right) σ=⎝⎛Γ(21+β)×β×2(2β−1)Γ(1+β)×sine(2πβ)⎠⎞

x,yx, yx,y表示螺旋飞行的形状，
y=r×cos⁡(θ)x=r×sin⁡(θ)r=r1+U×D1θ=−ω×D1+θ1θ1=3×π2\begin{gathered} y=r \times \cos (\theta) \\ x=r \times \sin (\theta) \\ r=r_{1}+U \times D_{1} \\ \theta=-\omega \times D_{1}+\theta_{1} \\ \theta 1=\frac{3 \times \pi}{2} \end{gathered} y=r×cos(θ)x=r×sin(θ)r=r1+U×D1θ=−ω×D1+θ1θ1=23×π
式中，r是搜索步长，取值范围在1到20之间，U取0.00565，ω取0.005

1.3 扩大开发阶段

在第三个阶段中，当Aquila鸟处于猎物区域，准备好着陆和攻击时，将采取垂直下降的方法进行初步攻击，数学公式为：
X3(t+1)=(Xbest (t)−XM(t))×α−rand +((UB−LB)×rand +LB)×δ\begin{gathered} X_{3}(t+1)=\left(X_{\text {best }}(t)-X_{M}(t)\right) \times \alpha-\text { rand }+ \\ ((U B-L B) \times \text { rand }+L B) \times \delta \\ \end{gathered} X3(t+1)=(Xbest (t)−XM(t))×α− rand +((UB−LB)× rand +LB)×δ

式中，α和δ\alpha {和} \deltaα和δ表示开发调整参数，取较小值(0.1)

1.4 缩小开发阶段

在这个阶段中，Aquila鸟接近猎物，以及向猎物发起带有一定随机性的攻击，行走和抓取猎物的数学公式为：
X4(t+1)=QF×Xbest (t)−(G1×X(t)×rand )−G2×Levy (D)+rand ×G1\begin{gathered} X_{4}(t+1)=Q F \times X_{\text {best }}(t)-\left(G_{1} \times X(t) \times \text { rand }\right)-G_{2} \times \text { Levy }(D)+\\ \text { rand } \times G_{1} \end{gathered} X4(t+1)=QF×Xbest (t)−(G1×X(t)× rand )−G2× Levy (D)+ rand ×G1

式中，QF(t)QF(t)QF(t)表示用于平衡搜索策略的质量函数值G1表示在追踪猎物过程中AO的各种运动，G2表示线性递减的飞行斜率值，范围是[0, 2]，相关参数的计算公式如下，

QF(t)=t2×rand ()−1(1−T)2G1=2×rand⁡()−1G2=2×(1−tT)\begin{gathered} Q F(t)=t^{\frac{2 \times \text { rand }()-1}{(1-T)^{2}}} \\ G_{1}=2 \times \operatorname{rand}()-1 \\ G_{2}=2 \times\left(1-\frac{t}{T}\right) \end{gathered} QF(t)=t(1−T)22× rand ()−1G1=2×rand()−1G2=2×(1−Tt)

2 算法流程

初始化算法参数，包括种群规模，最大迭代次数TTT，探索和开发参数α、δ\alpha、 \deltaα、δ
初始化种群位置X，初始的种群适应度，最佳个体
当t<Tt<Tt<T时，AO开始循环：
扩大探索阶段，计算种群的平均位置，更新种群位置X1(t+1)X_1(t+1)X1(t+1)
缩小探索阶段，更新种群位置X2(t+1)X_2(t+1)X2(t+1)
扩大开发阶段，更新种群位置X3(t+1)X_3(t+1)X3(t+1)
缩小开发阶段，更新种群位置X4(t+1)X_4(t+1)X4(t+1)
计算更新种群的适应度，得到当前最佳个体位置和适应度
比较当前最佳个体与到第ttt代找到的最佳个体适应度，保留较优的个体位置
判断满足算法终止条件，如果不满足，则重复执行步骤4-9
跳出循环，输出最优解和最佳适应度

3 MATLAB代码结果

优化目标(Sphere单峰函数)：

f(x)=∑i=1Dxi2f(x)=\sum_{i=1}^{D} x_{i}^{2} f(x)=i=1∑Dxi2

优化结果：

参考资料：Abualigah，L.，Yousri，D.，Elaziz，MA，Ewees，AA，A。Al-qaness，MA，Gandomi， AH，Aquila Optimizer：一种新颖的元启发式优化算法，计算机与工业工程（2021年），doi： https ： //doi.org/10.1016/j.cie.2021.107250

源代码可在Researchgate上找到： https : //www.researchgate.net/publication/350411564_Matlab_Code_of_Aquila_Optimizer_A_novel_meta-heuristic_optimization_algorithm

如需获取笔者编写的MATLAB代码，请订阅以下CSDN专栏《最优化方法》的文章：

2021年若干个智能优化算法简介-附MATLAB代码文章集锦

CSDN《最优化方法》专栏文章地址：https://blog.csdn.net/qq_45955094/category_11224070.html

《最优化方法》专栏内包含天鹰优化器(AO)，非洲秃鹫优化算法(AVOA)、蜜獾算法(HBA)、澳洲野狗优化算法(DOA)、材料生成算法(MGA)等2021年优化算法介绍和笔者编写的MATLAB代码，以及粒子群算法(PSO)、哈里斯鹰算法(HHO)、灰狼优化算法(GWO)等经典优化算法介绍与编程

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