算法设计与分析第一章递推算法

算法设计与分析

第一章递推算法

1.概述

在**已知条件**和**所求问题**之间总存在着某种相互联系的关系，如果可以找到前后过程之间的数量关系（即递推式），那么，从**问题出发逐步推到已知条件**，此种方法叫逆推。
无论**顺推逆推**关键是找到**递推式**

2.斐波那切数列前n项

Fibonacci 数列：0，1，1，2，3，5，8，13，21，34，……
f0 = 0
f1 = 1
fn = fn-1 + fn-2 ( n >= 2 )
分析：可以用迭代方法求解

#include <iostream>
using namespace std ;
int main(){int n, i, a0, a1 ;cout << "n = " ;cin >> n ;a0 = 0 ;  a1 = 1 ;cout << a0 << "  "<< a1 << "  ";for ( i = 2; i <= n/2 ; i ++ ){a0 = a0 + a1 ;a1 = a1 + a0 ;cout << a0 << "  "<< a1 << "  ";if ( i % 5 == 0 )  cout << endl ;}if ( n > (i-1)*2 )  cout << a0+a1 << endl ;return 0;
}

2.N层汉诺塔的移动次数

递推关系分析
f(n)=2*f(n-1)+1
边界条件：f(1)=1.

#include <iostream>
using namespace std;
int main(){int f[1000]={0,1};int n;cin>>n;for(int i=2;i<=n;i++)f[i]=2*f[i-1]+1;cout<<f[n]<<endl;return 0;
}

3.猴子吃桃

猴子第一天采摘了一些桃子，第二天吃了第一天的一半多一个，第三天吃了第二天的一半多一个…直到第十天就剩下一个。问：猴子第一天摘了多少桃子？

递推关系:
f(n)=f(n-1)/2-1
f(n-1)=(f(n)+1)*2
边界条件：f(10)=1

#include <iostream>
using namespace std;
int main(){int f[11];f[10]=1;for(int i=9;i>=1;i--)f[i]=2*(f[i+1]+1);cout<<f[1]<<endl;return 0;
}

4.数字三角形

请编一个程序计算从顶到底的某处的一条路径，使该路径所经过的数字总和最大。只要求输出总和。
　 1、一步可沿左斜线向下或右斜线向下走；
　 2、三角形行数小于等于100；
3、三角形中的数字为0，1，…，99；

测试数据通过键盘逐行输入，如上例数据应以如下所示格式输入：
5
7
3 8
8 1 0
2 7 4 4
4 5 2 6 5
方法一、顺推法
F[x][y]=?
向左：
F[x-1,y]+A[x,y]；
向右：
F[x-1,y-1]+A[x,y]；
递推边界条件：F[1][1]=A[1][1]
最终答案?
Ans=max{F[N][1],F[N][2],…,F[N][N]}。

#include <iostream>
#include <algorithm>
using namespace std;const int MAXN = 1005;int A[MAXN][MAXN],F[MAXN][MAXN],N;int main()  {cin >> N;for(int i = 1;i <= N;i ++)for(int j = 1;j <= i;j ++)cin >> A[i][j];F[1][1] = A[1][1];for(int i = 2;i <= N;i ++)for(int j = 1;j <= i;j ++)F[i][j]=max(F[i-1][j-1],F[i-1][j])+A[i][j];int ans =0;for(int i = 1;i <= N;i ++)ans = max(ans,F[N][i]);cout << ans << endl;return 0;}

方法二、逆推法
定义F[x][y]表示从n层出发到达(x,y)的路径最大权值和。
自底向上计算：（给出递推式和终止条件）
①从底层开始，本身数即为最大数；
②倒数第二层的计算，取决于底层的数据：12+6=18，13+14=27，24+15=39，24+8=32；
③倒数第三层的计算，取决于底二层计算的数据：27+12=39，39+7=46，39+26=65

F[i][j]=max(F[i+1][j],F[i+1][j+1])+A[i][j];
递推边界条件: F[n][i]=A[n][i]

#include <iostream>
#include <algorithm>
using namespace std;
const int MAXN = 1005;
int A[MAXN][MAXN],F[MAXN][MAXN],N;
int max(int a,int b){if(a>b) return a;return b;
}
int main()  {int i; cin >> N;for( i = 1;i <= N;i ++)for(int j = 1;j <= i;j ++)cin >> A[i][j];for( i = 1;i <= N;i ++)F[N][i] = A[N][i];for( i = N-1;i >=1;i --)for(int j = 1;j <= i;j ++)F[i][j]=max(F[i+1][j],F[i+1][j+1])+A[i][j];cout << F[1][1] << endl;return 0;}

5.有2n 的一个长方形方格，用一个12 的骨牌铺满方格。

编写一个程序，试对给出的任意一个n(n>0), 输出铺法总数。

【算法分析】
　（1）当n=1时，
只能是一种铺法，铺法总数有示为x1=1。
　（2）当n=2时：
骨牌可以两个并列竖排，也可以并列横排，再无其他方法，如下左图所示，因此，铺法总数表示为x2=2；
（3）当n=3时：　.

当n=3时的排列骨牌的方法数是n=1和n=2排列方法数的和
4）推出一般规律：对一般的n，要求xn可以这样来考虑，
若第一个骨牌是竖排列放置，
剩下有n-1个骨牌需要排列，这时排列方法数为xn-1；
若第一个骨牌是横排列，
整个方格至少有2个骨牌是横排列（1*2骨牌），因此剩下n-2个骨牌需要排列，这是骨牌排列方法数为xn-2。
从第一骨牌排列方法考虑，只有这两种可能，所以有：
f(n)=f(n-1)+f(n-2) （n>2）
f(1)=1
f(2)=2

#include<iostream>
using namespace std;
int main(){int n,i,j,f[101];cout<<"input n:";                     //输入骨牌数cin>>n;f[1]=1;f[2]=2;  //边界条件cout<<“f[1]="<<f[1]<<endl;cout<<“f[2]="<<f[2]<<endl;for (i=3;i<=n;i++){               //递推过程f[i]=f[i-1]+f[i-2];cout<<“f["<<i<<"]="<<f[i]<<endl;}
}

6.昆虫繁殖

科学家在热带森林中发现了一种特殊的昆虫，这种昆虫的繁殖能力很强。
每对成虫过x个月产y对卵，每对卵要过两个月长成成虫。
假设每个成虫不死，第一个月只有一对成虫，且卵长成成虫后的第一个月不产卵(过X个月产卵).
问过Z个月以后，共有成虫多少对？0=<X<=20,1<=Y<=20,X=<Z<=50
【输入格式】 x,y,z的数值
【输出格式】过Z个月以后，共有成虫对数
【输入样例】 1 2 8
【输出样例】 37

分析：
每个月都有成虫产卵。
虫卵经过两个月才能变成成虫，产卵。
每个月的成虫数量是?
由前上个月的成虫和两个月之前的虫卵数量计算
每个月的虫卵是由i-x个月的成虫决定(i是当前月份。为什么不是上个月的成虫？)
定义数组f，f[i]表示第i月昆虫成虫的数量
添加一个辅助数组b，b[i]表示第i月的卵的数目，从而得到两个公式：
b[i] = f[i - x] * y; （成虫经过x月产卵 y对）f[i] = f[i - 1] + b[i - 2]; （卵经过2个月长成成虫）
每对成虫过x个月产y对卵，Z个月后成虫的数量
样例输入：
1 2 8

#include<iostream>
using namespace std;
int main(){long long a[101]={0},b[101]={0},i,j,x,y,z;cin>>x>>y>>z;for(i=1;i<=x;i++){a[i]=1;b[i]=0;}for(i=x+1;i<=z+1;i++){           //因为要统计到第z个月后，所以要for到z+1b[i]=y*a[i-x];a[i]=a[i-1]+b[i-2];                 }  cout<<a[z+1]<<endl;return 0;
}