PDF:A branch-and-price approach to the feeder network design problem

摘要：

考虑集装箱轮船调度问题（container liner shipping feeder network），决策变量是以中心港口（center hub）为起点和终点的多次循环中，选择哪个港口（port）去服务。考虑参数：速度参数（leg-by-leg speeds）、货物运输时间（cargo transit times）。数据来自于LinerLib benchmark。使用branch-and-price算法，在一小时内剞劂大部分算例，

介绍：

Container liner shipping 用来运输长距离的大量货物，与不定期运输（tramp shipping）相反，需要安排船只来满足运输需求，并且轮船在固定路线上根据时间表运行。

本文考虑 Feeder Network Design Problem (FNDP)，问题主要出现在对于区域供需网络中进行轮船调度路径的设计。船只主要用于从大的集散中心（hubs）提取货物，并将货物转运到小港口（ports），同时，它们从ports收集集装箱，并重新带回 hubs。同一区域可以不止一个hub，本文只考虑一个hub的问题。

由于liner vessels根据固定时刻表（fixed schedule）进行运输，计划员对每次循环中每个port的开放时间提出一个公共时间表（public timetable），因此每个port在一个星期中有固定的一天开放。

feeder network 的特性是每次循环的起点和终点都是hub port。因此可以对循环的种类分为以下三种：

（1）传送带型（2）蝴蝶型（3）循环以及钟摆型

决策目标：选择那些ports去服务

对于轮船公司，可以从每次服务中获得收益，同时也会由于没有服务每个port遭到惩罚；另一种可能是，雇佣别的公司的vessel进行port的服务，来赚取差价。

问题假设：已知每个port 的所有待发送（delivery）和待获取（pickup）需求，需要决策的变量是，是否去该 port 进行 delivery 或 pickup （这两个决定相互独立），并且每次需要收集的货物总量都要在一次获取完毕，不允许分多个vessel进行收集。

问题目标：最大化服务货物的收益，减去 rotation次数以及 外包费用的惩罚。

rotation惩罚：port租金，调集费用和 vessel服务费，如燃油费

外包惩罚：（1）费用持续变化；（2）受速度影响大

速度与实际费用的关系：

其中，s是实际运输速度，s*是设计速度。

约束：（1）有限容量和vessel的数量；（2）ports会在某些时间窗关闭；（3）某些物品有最大运输时间限制（防腐食品）；（4）港口最大停泊量（maximum draught）

与路径（routing）问题的相关性：

1、 FNDP问题包含Capacitated VRP（Vehicle Routing Problem）问题的部分元素，包括：最大vessel容量，时间窗，vessel速度不同，带有收集和分发功能，同一hub 会有多次循环（multiple times）

the capacitated VRP since each vessel has a maximum container capacity, the VRP with time windows, the VRP with heterogeneous fleet since each vessel can differ from the others, the VRP with pickups and deliveries since we have a flow of cargo both from and to the hub, the multi-period VRP because the vehicles can get back to the hub multiple times.

2、对于VRP问题，顾客的集合是给定的不需要选择，这一点参考的是Orienteering Problem (TOP) 定向越野系列问题，对于多载具变量（multi-vehicle），一般有如下名字：Team Orienteering Problem (TOP)；VRP with Profit Collection；VRP with Customer Selection.
其中，近年比较热门，包括了 time windows，pickup-and-delivery

创新点：（1）提出一个数学模型，并添加真实约束对FNDP模型进行拓展（2）提出SOTA级算法，达到与最优结果相近的结果（with very small gaps)）（3）对整个前景进行分析。

2、Liner network design

Liner shipping 是遵守固定路线和给定时间表（fixed routes and published timetables）的海上货运运输，船只从管理者接受需要服务的客户信息，并在线决定需要服务哪些客户。

略

3、模型

整个计划范围被分为m个时段，；时间范围设计为一个星期的倍数，比如：如果计划范围是一个月，每个路径安排4个船，这样可以每个port一个星期访问一次。是区域内port的数量，包括中心hub。将每个port建模两次，一次是pickup，一次用于delivery。所有ports被定义为

其中，用于delivery；用于pickup；

Ports i and n + i 是相同节点，只不过功能不同

集合是除了中心hub外的所有Ports集合。每个port有最大载货量（吃水量），如果超过则不能进入。每个port带有装卸时间（handling time）。由于每个port需要移动的容器数量提前已知，可以对port的进行准确估计。其中只与vessels种类有关，与载货量无关。

每个port有许多关闭时间窗，不仅知道port在什么时候关闭，并与一些请求相关：

（1）如果是一个在时刻接受大量需要出口的货物的pickup port，那么在to之前将被标记为关闭状态，直到时刻可以发送。

（2）如果时间周期为2星期。delivery port 在时间每周被服务一次。对于一些保存时间最长不超过时间单位的货物，开放时间窗应该为

对于每个ports i,j 之间有一个对称距离（symmetric distance），这个距离满足三角不等式（两点直接距离一定不能比经过多次点后的总距离长），同一个点之间距离为0，即，

所有 k 个vessels集合为，每个vessel v有容量以及吃水量，假设吃水量固定，实际中会因为容量稍微变化。每个 vessel 有速度集合（以节为单位），为当前速度的可能性个数。

考虑如下损失：

（1）Time charter cost：租载具费用，每日金额固定（以时间段为单位）

（2）Hotel cost：停泊费用

（3）Bunker cost：燃料费用，取决于航行速度

（4）Movement costs：搬运货物费用

（5）Fixed port call fee：呼叫服务费

（6）Variable port call fee：根据vessel容量变化的呼叫费用

服务会产生收益，以Forty-Foot Equivalent Unit (FFE)为衡量单位进行picked up 或 delivered。不同 Port 的 FFE收益不同，因此直接用表示为port 服务的总收益。相似地，对于跳过服务某port 需要赔偿。

Fig. 2a 为 1 个 Hub , 2个 ports。

Fig. 2b 是对应生成模型。

虚线是同一个port之间的传递，首先执行的是delivery（交货），然后是pickup（取货）

3.1 图

每个vessels 有一个 space-time 图，其节点定义为：，其中分别是 首末节点（source and sink node）。其他点表示一个在特定时刻的port。

被分为一下几个部分：

（1）Starting arcs：从源节点 → 中心Hub

（2）Ending arcs：中心Hub → 末节点

（3）Delivery-to-pickup arcs：，同一port内之间的送货和取货

（4）Sailing arcs：不同port之间的去送货。

的到达时间为，令为在处可以完成操作的时间，如果加上处理时间依然在开放的时间内，那么；否则必须还要考虑等待时间（船不能停靠或操作，当port时关闭状态），因此可以创建

每个Port之间都要重复这样的计算，delivery-to-pickup 的弧同样这样计算，其中开始和结束弧是与hub相关的，开始弧表示在t 时刻离开hub，即在 [0,t] 时间段内一直等待。同样地，结束弧：表示载具在t时刻完成rotation，并在时刻一直等待。

一个任意弧（不同节点之间的取货和发货）的费用：

Fig. 2c 是 Fig. 2b 在时间维度上拓展的图（忽略了始末点），图中表示了

，

第一条线表示：在 time 1 离开，在time 2 到达，在time 3 完成装载

第二条线表示：在 time 1 离开，在time 3 到达，在time 4 完成装载

第二条线变慢的原因是：速度慢造成路途从1个时间单位→2个时间单位

3.2 Integer formulation

对每个构建一个以为始末点的连续弧，弧在集合内，最多被访问一次，并且不超过容量上限，对于每个所有的路径记作，的集合为，每条路径的损失为。最终，如果在中，那么，可以对FNDP建立如下模型，考虑0-1变量，如果是最终解的一部分，那么=1，

目标函数（2）为最小化所选路径的总费用和惩罚，其中，后一项是如果port i 没有被服务的惩罚。

约束（3）保证每个port最多被访问一次，约束（4）表示最终解中，所有可行路径只能选择一个（不能多次使用），约束（5）则表示变量取值范围，与VRP不同，set-covering问题中，约束变量是≥（至少满足），而本问题中约束方向是≤（允许不服务）

Problem (MP)也被称为主问题（master problem），但主问题的缺点是（有效解）过大，很难去枚举全部个数，与节点个数呈指数（exponentially）增长。因此考虑用小一些的去替代，并且舍去对于变量的整数要求（连续化）。新的问题叫做 限制主问题 restricted master problem (RMP) ，本文提出的branch-and-price 算法，是利用 branch and bound 求解主问题：在 linear programme (RMP) 中每个节点可以被求出，并生成新的列加入到中。对于每个，通过求解价格子问题搜索可行列（promising columns）。如果子问题有负的检测数（negative reduced cost）则有继续下降的空间，加入新的列。由对偶理论可知，RMP的目标函数可以通过进基（enter the base）的方式改进，退化例子（degenerate cases）除外。如果子问题检测数全部为正，那么此时的RMP已经是最优的，也能够找到最优节点。

此时，令为约束（3）的对偶变量，令为约束（4）的对偶变量。目标函数可以改写为：

其中，后一项是固定值（所有未服务port的惩罚和），因此与相关的列的dual cost:

这个dual cost由原始路径cost得到；对于每个，加入了对偶价格，移除了惩罚；最终，是否需要支付取决于。

4.价格子问题（pricing subproblem）的结果

价格子问题是带有资源约束（resource constraints）的最短路径问题（SPPRC）。的路径都是中从源节点到终节点的路径，并且约束用来保证路径的可行性。因此，这个问题也可以看做！！！，因为是非循环的（acyclic），因此每条路径都是一个基本单元，本文中，每个port最多访问一次，每个节点只能有一条出流和入流。

4.1 Greedy-randomised heuristic for the ESPPRC

我们可以通过贪婪算法找到一个从源点出发的且negative-reduced-cost的路径，然后从条reduced cost 弧中随机选择一条不能成环的，知道到达终点，同样这个步骤可以逆向进行。在找到路径后检查各项约束。由于这个计算时间通常很小，增加了找到可行路径的可能性。

4.2 Exact dynamic programming algorithm for the ESPPRC

ESPPRC问题可以通过动态规划精确求解，并使用label-setting算法（如，Irnich and Desaulniers, 2005），我们使用表示从源节点到node (i, t)的每个路径。Label的设置与 Dell’Amico, Righini, and Salani (2006)中的VRP内容相似，有着相同的集合：

（1），当前节点(i, t)已经在路径中

（2），在访问当前port后，可以取货（pick up）的量

（3），在访问当前port后，可以送货（deliver）的量

（4），0-1变量，当前节点访问结束后，第j项为0，则可以访问

（5），路径的cost综合，加上费用，减去惩罚，如果当前访问节点为终点，还需要加上对偶价格

构造初始解：（起点为源点，可取货和送货量都为最大容量，访问节点为空），整个解的空间为，损失函数为

未完...................................................

A branch-and-price approach to the feeder network design problem相关推荐

分支定界方法（branch and cut，branch and price的基础）
目录 1.基础版的分支定界算法(假设是min问题) 2.分支定界算法的步骤及其注意事项 2.1 具体的分支定界方法的步骤: 2.2 迭代过程,也就是分支定界方法的核心操作: 2.3 分支策略: 2.4 ...
分支定价算法(branch and price, BP）
目录前言分支定界算法列生成算法步骤参考文献前言简述分支定价算法原理,如有错误可私信,谢谢.部分截图来自本人汇报所用PPT以及参考文献.以下均以最小化问题为例. 分支定界算法分支定价算法 ...
Deep Reinforcement Learning Approach to Solve Dynamic Vehicle Routing Problem with Stochastic Custom
摘要在现实的城市物流运作中,路线和任务的变化是对动态事件的响应.为了确保消费者的需求得到满足,规划者需要快速(有时是瞬间)做出这些改变.本文提出了一个带时间窗的动态车辆路径问题,它是一个基于路径的马 ...
INFORMS 及 EJOR 系列主编汇总
INFORMS 及 EJOR 系列主编汇总 INFORMS Informs是The Institute for Operations Research and the Management Scien ...
（附源码）springboot福佳生活超市进销存管理系统毕业设计261620
福佳生活超市进销存管理系统摘要随着超市规模的发展不断扩大,商品数量急剧增加,有关商品的各种信息量也成倍增长.超市时时刻刻都需要对商品各种进销存信息进行统计分析.超市进销存管理系统开发的主要目是使 ...
springboot福佳生活超市进销存管理系统毕业设计源码261620
福佳生活超市进销存管理系统摘要随着超市规模的发展不断扩大,商品数量急剧增加,有关商品的各种信息量也成倍增长.超市时时刻刻都需要对商品各种进销存信息进行统计分析.超市进销存管理系统开发的主要目是使 ...
Springboot福佳生活超市进销存管理系统毕业设计-附源码261620
福佳生活超市进销存管理系统摘要随着超市规模的发展不断扩大,商品数量急剧增加,有关商品的各种信息量也成倍增长.超市时时刻刻都需要对商品各种进销存信息进行统计分析.超市进销存管理系统开发的主要目是使 ...
计算机专业英语词汇mp3,[听单词] 计算机专业英语词汇音频07,常用计算机英语单词MP3...
erasable and programmable read only memory 可擦除可编程只读存储器 malafide adj.歪曲的(不诚实的) push pull operation 推拉 ...
（附源码）springboot福佳生活超市进销存管理系统附源码261620
福佳生活超市进销存管理系统摘要随着超市规模的发展不断扩大,商品数量急剧增加,有关商品的各种信息量也成倍增长.超市时时刻刻都需要对商品各种进销存信息进行统计分析.超市进销存管理系统开发的主要目是使 ...

A branch-and-price approach to the feeder network design problem