- 362.设A,B\bm{A},\bm{B}A,B均阶矩阵，且AB=A+B\bm{AB}=\bm{A}+\bm{B}AB=A+B，则
  (1)(1)(1)若A\bm{A}A可逆，则B\bm{B}B可逆；
  (2)(2)(2)若B\bm{B}B可逆，则A+B\bm{A}+\bm{B}A+B可逆；
  (3)(3)(3)若B\bm{B}B可逆，则A\bm{A}A可逆；
  (4)(4)(4)A−E\bm{A}-\bm{E}A−E恒可逆。
  上述命题中，正确的命题共有
  (A)1(A)1(A)1个；
  (B)2(B)2(B)2个；
  (C)3(C)3(C)3个；
  (D)4(D)4(D)4个。
- 372.设A\bm{A}A为三阶可逆矩阵，将A\bm{A}A的第111行乘以−2-2−2得到矩阵B\bm{B}B，则
  (A)A−1(A)\bm{A}^{-1}(A)A−1的第111行乘以−2-2−2得到矩阵B−1\bm{B}^{-1}B−1；
  (B)A−1(B)\bm{A}^{-1}(B)A−1的第一列乘以−12-\cfrac{1}{2}−21得到矩阵B−1\bm{B}^{-1}B−1；
  (C)A−1(C)\bm{A}^{-1}(C)A−1的第111行乘以222得到矩阵B−1\bm{B}^{-1}B−1；
  (D)A−1(D)\bm{A}^{-1}(D)A−1的第一列乘以12\cfrac{1}{2}21得到矩阵B−1\bm{B}^{-1}B−1。
- 375.设A,B\bm{A},\bm{B}A,B都是四阶非零矩阵，且AB=O\bm{AB}=\bm{O}AB=O，则必有
  (A)(A)(A)若r(A)=1r(\bm{A})=1r(A)=1，则r(B)=3r(\bm{B})=3r(B)=3；
  (B)(B)(B)若r(A)=2r(\bm{A})=2r(A)=2，则r(B)=2r(\bm{B})=2r(B)=2；
  (C)(C)(C)若r(A)=3r(\bm{A})=3r(A)=3，则r(B)=1r(\bm{B})=1r(B)=1；
  (D)(D)(D)若r(A)=4r(\bm{A})=4r(A)=4，则r(B)=1r(\bm{B})=1r(B)=1。
- 404.设A\bm{A}A是m×nm\times nm×n矩阵，AT\bm{A}^{\mathrm{T}}AT是A\bm{A}A的转置，若η1,η2,⋯,ηt\bm{\eta}_1,\bm{\eta}_2,\cdots,\bm{\eta}_tη1,η2,⋯,ηt是齐次方程组ATx=0\bm{A}^{\mathrm{T}}\bm{x}=\bm{0}ATx=0的基础解系，则秩r(A)=r(\bm{A})=r(A)=
  (A)t;(A)t;(A)t;
  (B)n−t;(B)n-t;(B)n−t;
  (C)m−t;(C)m-t;(C)m−t;
  (D)n−m.(D)n-m.(D)n−m.
- 417.下列矩阵中，不能相似对角化的是
  (A)(100230122);(A)\begin{pmatrix}1&0&0\\2&3&0\\1&2&2\end{pmatrix};(A)⎝⎛121032002⎠⎞;
  (B)(12301200−1);(B)\begin{pmatrix}1&2&3\\0&1&2\\0&0&-1\end{pmatrix};(B)⎝⎛10021032−1⎠⎞;
  (C)(10001032−1);(C)\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\3&2&-1\end{pmatrix};(C)⎝⎛10301200−1⎠⎞;
  (D)(123201311).(D)\begin{pmatrix}1&2&3\\2&0&1\\3&1&1\end{pmatrix}.(D)⎝⎛123201311⎠⎞.
写在最后

362.设A,B\bm{A},\bm{B}A,B均阶矩阵，且AB=A+B\bm{AB}=\bm{A}+\bm{B}AB=A+B，则
(1)(1)(1)若A\bm{A}A可逆，则B\bm{B}B可逆；
(2)(2)(2)若B\bm{B}B可逆，则A+B\bm{A}+\bm{B}A+B可逆；
(3)(3)(3)若B\bm{B}B可逆，则A\bm{A}A可逆；
(4)(4)(4)A−E\bm{A}-\bm{E}A−E恒可逆。
上述命题中，正确的命题共有
(A)1(A)1(A)1个；
(B)2(B)2(B)2个；
(C)3(C)3(C)3个；
(D)4(D)4(D)4个。

解由AB=A+B\bm{AB}=\bm{A}+\bm{B}AB=A+B有(A−E)B=A(\bm{A}-\bm{E})\bm{B}=\bm{A}(A−E)B=A。若A\bm{A}A可逆，则∣A−E∣⋅∣B∣=∣A∣≠0|\bm{A}-\bm{E}|\cdot|\bm{B}|=|\bm{A}|\ne0∣A−E∣⋅∣B∣=∣A∣=0，故∣B∣≠0|\bm{B}|\ne0∣B∣=0，即矩阵B\bm{B}B可逆，从而命题(1)(1)(1)正确。同理可得，命题(3)(3)(3)正确。
由B\bm{B}B可逆得A\bm{A}A可逆，从而AB\bm{AB}AB可逆，那么AB=A+B\bm{AB}=\bm{A}+\bm{B}AB=A+B可逆，命题(2)(2)(2)正确。
用因式分解得AB−A−B+E=E\bm{AB}-\bm{A}-\bm{B}+\bm{E}=\bm{E}AB−A−B+E=E，即有(A−E)(B−E)=E(\bm{A}-\bm{E})(\bm{B}-\bm{E})=\bm{E}(A−E)(B−E)=E，所以A−E\bm{A}-\bm{E}A−E恒可逆，命题(4)(4)(4)正确。故应选(D)(D)(D)。（这道题主要利用了矩阵方程的变换求解）

372.设A\bm{A}A为三阶可逆矩阵，将A\bm{A}A的第111行乘以−2-2−2得到矩阵B\bm{B}B，则
(A)A−1(A)\bm{A}^{-1}(A)A−1的第111行乘以−2-2−2得到矩阵B−1\bm{B}^{-1}B−1；
(B)A−1(B)\bm{A}^{-1}(B)A−1的第一列乘以−12-\cfrac{1}{2}−21得到矩阵B−1\bm{B}^{-1}B−1；
(C)A−1(C)\bm{A}^{-1}(C)A−1的第111行乘以222得到矩阵B−1\bm{B}^{-1}B−1；
(D)A−1(D)\bm{A}^{-1}(D)A−1的第一列乘以12\cfrac{1}{2}21得到矩阵B−1\bm{B}^{-1}B−1。

解由已知条件，有
[−211]A=B\begin{bmatrix} -2&&\\&1&\\&&1 \end{bmatrix}\bm{A}=\bm{B} ⎣⎡−211⎦⎤A=B
那么
B−1=([−211]A)−1=A−1[−211]−1=A−1[−1211]\bm{B}^{-1}=\left(\begin{bmatrix} -2&&\\&1&\\&&1 \end{bmatrix}\bm{A}\right)^{-1}=\bm{A}^{-1}\begin{bmatrix} -2&&\\&1&\\&&1 \end{bmatrix}^{-1}=\bm{A}^{-1}\begin{bmatrix} -\cfrac{1}{2}&&\\&1&\\&&1 \end{bmatrix} B−1=⎝⎛⎣⎡−211⎦⎤A⎠⎞−1=A−1⎣⎡−211⎦⎤−1=A−1⎣⎢⎢⎡−2111⎦⎥⎥⎤
所以A−1\bm{A}^{-1}A−1的第一列乘以−12-\cfrac{1}{2}−21得矩阵B−1\bm{B}^{-1}B−1。故应选(B)(B)(B)。（这道题主要利用了逆矩阵乘法求解）

375.设A,B\bm{A},\bm{B}A,B都是四阶非零矩阵，且AB=O\bm{AB}=\bm{O}AB=O，则必有
(A)(A)(A)若r(A)=1r(\bm{A})=1r(A)=1，则r(B)=3r(\bm{B})=3r(B)=3；
(B)(B)(B)若r(A)=2r(\bm{A})=2r(A)=2，则r(B)=2r(\bm{B})=2r(B)=2；
(C)(C)(C)若r(A)=3r(\bm{A})=3r(A)=3，则r(B)=1r(\bm{B})=1r(B)=1；
(D)(D)(D)若r(A)=4r(\bm{A})=4r(A)=4，则r(B)=1r(\bm{B})=1r(B)=1。

解因为A,B\bm{A},\bm{B}A,B均四阶非零矩阵，那么1⩽r(A)⩽4,1⩽r(B)⩽41\leqslant r(\bm{A})\leqslant4,1\leqslant r(\bm{B})\leqslant41⩽r(A)⩽4,1⩽r(B)⩽4。又AB=O\bm{AB}=\bm{O}AB=O，有r(A)+r(B)⩽4r(\bm{A})+r(\bm{B})\leqslant4r(A)+r(B)⩽4。所以当r(A)=3r(\bm{A})=3r(A)=3时，必有r(B)=1r(\bm{B})=1r(B)=1，即应选(C)(C)(C)。（这道题主要利用了矩阵秩的性质求解）

404.设A\bm{A}A是m×nm\times nm×n矩阵，AT\bm{A}^{\mathrm{T}}AT是A\bm{A}A的转置，若η1,η2,⋯,ηt\bm{\eta}_1,\bm{\eta}_2,\cdots,\bm{\eta}_tη1,η2,⋯,ηt是齐次方程组ATx=0\bm{A}^{\mathrm{T}}\bm{x}=\bm{0}ATx=0的基础解系，则秩r(A)=r(\bm{A})=r(A)=
(A)t;(A)t;(A)t;
(B)n−t;(B)n-t;(B)n−t;
(C)m−t;(C)m-t;(C)m−t;
(D)n−m.(D)n-m.(D)n−m.

解由于A\bm{A}A是m×nm\times nm×n矩阵，知AT\bm{A}^{\mathrm{T}}AT是n×mn\times mn×m矩阵，那么ATx=0\bm{A}^{\mathrm{T}}\bm{x}=\bm{0}ATx=0是nnn个方程mmm个未知数的齐次线性方程组，从而m−r(AT)=tm-r(\bm{A}^{\mathrm{T}})=tm−r(AT)=t。
又因r(A)=r(AT)r(\bm{A})=r(\bm{A}^{\mathrm{T}})r(A)=r(AT)，所以r(A)=m−tr(\bm{A})=m-tr(A)=m−t，即应当选(C)(C)(C)。（这道题主要利用了转置矩阵的性质求解）

417.下列矩阵中，不能相似对角化的是
(A)(100230122);(A)\begin{pmatrix}1&0&0\\2&3&0\\1&2&2\end{pmatrix};(A)⎝⎛121032002⎠⎞;
(B)(12301200−1);(B)\begin{pmatrix}1&2&3\\0&1&2\\0&0&-1\end{pmatrix};(B)⎝⎛10021032−1⎠⎞;
(C)(10001032−1);(C)\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\3&2&-1\end{pmatrix};(C)⎝⎛10301200−1⎠⎞;
(D)(123201311).(D)\begin{pmatrix}1&2&3\\2&0&1\\3&1&1\end{pmatrix}.(D)⎝⎛123201311⎠⎞.

解对于选项(B)(B)(B)，
E−B=(023002002)\bm{E}-\bm{B}=\begin{pmatrix}0&2&3\\0&0&2\\0&0&2\end{pmatrix} E−B=⎝⎛000200322⎠⎞
即齐次方程组(E−B)x=0(\bm{E}-\bm{B})\bm{x}=\bm{0}(E−B)x=0只有111个线性无关的解，亦λ=1\lambda=1λ=1只有111个线性无关的特征向量，所以B\bm{B}B不能对角化。（这道题主要利用了对角化的判定求解）

写在最后

如果觉得文章不错就点个赞吧。另外，如果有不同的观点，欢迎留言或私信。
欢迎非商业转载，转载请注明出处。

李永乐数学基础过关660题线性代数选择题相关推荐

李永乐数学基础过关660题高等数学选择题
目录 130.I=lim⁡x→0cos⁡(xex)−e−x22e2xx4=I=\lim\limits_{x\to0}\cfrac{\cos(xe^x)-e^{-\frac{x^2}{2}e^{2x}} ...
李永乐数学基础过关660题线性代数填空题
目录 284.设四阶方阵A=[α,γ2,γ3,γ4],B=[β,γ2,γ3,γ4]\bm{A}=[\bm{\alpha},\bm{\gamma}_2,\bm{\gamma}_3,\bm{\gamma} ...
李永乐数学基础过关660题2阶高等数学选择题
目录 622.在命题 (1)设∑n=1∞an\displaystyle\sum\limits_{n=1}^\infty a_nn=1∑∞an收敛,则∑n=1∞an2\displaystyle\su ...
李永乐数学基础过关660题高等数学填空题
目录 6. I = lim ⁡ x → 0 x sin ⁡ x 2 − 2 ( 1 − cos ⁡ x ) sin ⁡ x x 4 = I=\lim\limits_{x\to0}\cfrac{x\si ...
李永乐数学基础过关660题2阶高等数学填空题
目录 577.若级数∑n=2∞n(ln⁡n+1n−1)p\displaystyle\sum^{\infty}\limits_{n=2}\sqrt{n}\left(\ln\cfrac{n+1}{n-1} ...
李永乐团队2021数学基础过关660题勘误表
李永乐团队2021数学基础过关660题勘误表附:各大高校专业课资料整理可以看一下我的博客主页上传的资源哦!感谢关注,评论♥点个赞再白嫖呗☞2333
2019原创考研数学基础过关660题（数学二）
2019原创考研数学基础过关660题(数学二) 链接: https://pan.baidu.com/s/1F13o6IjxSHonLxn60ttYfQ 提取码: 4ubd 复制这段内容后打开百度网盘手 ...
2019李永乐考研数学基础过关660题数学一
2019李永乐考研数学基础过关660题数学一链接: https://pan.baidu.com/s/1r2jyBI-i1u_uA3fCLnZsEg 提取码: 5ubf 复制这段内容后打开百度网盘 ...
2019原创考研数学基础过关660题数学一
2019原创考研数学基础过关660题数学一链接: https://pan.baidu.com/s/1U5SLSQpRRlNu80stqkh6uw 提取码: fw68 复制这段内容后打开百度网盘手 ...

李永乐数学基础过关660题线性代数选择题

目录

写在最后

李永乐数学基础过关660题线性代数选择题相关推荐

最新文章

热门文章