25匹马赛跑确定前五匹马的问题

1、先看下条件：总共25匹马，每个马的状态是稳定的，每场比赛最多只能有五匹马进行赛跑。

2、问题是至少要比赛多少场才能确定跑得最快的五匹马？

思路：

1、我们用A~E给五组马编号，先分成五组，比赛五场，得到如下组内排序：（5场)

A1,A2,A3,A4,A5
B B1,B2,B3,B4,B5
C C1,C2,C3,C4,C5
D D1,D2,D3,D4,D5
E E1,E2,E3,E4,E5

2、然后取每组的第一名组成一组进行比赛，假设结果是A1>B1>C1>D1>E1，由于只要求出前五名，所以在这一场之后，可以提前排除一些不可能进入前五的马，剩下的马如下：(1场)

A A1,A2,A3,A4,A5
B B1,B2,B3,B4
C C1,C2,C3
D D1,D2
E E1

3、由2可以得出第一名的马为A1，并且能缩小第二和第三名的范围，这里的缩小，是指能缩小到五匹马之内。

此时，第二名只可能出现在A2和B1之间，同理，第三名只能出现在A2,A3,B1,B2,C1之中。我们选取如下五个马进行比赛可以确定第二名和第三名：(1场)

A A1,A2,A3,A4,A5
B B1,B2,B3,B4
C C1,C2,C3
D D1,D2
E E1

4、我们可以考虑3中比赛的马的个数，加上已经决定的第一名，总共有六匹马，所以可知，第3步在确定第二名和第三名的同时也淘汰了一匹不可能进入前五的马。这匹被淘汰的马只可能是A3,B2,C1中的一个。所以下面分三种情况讨论：

1）、假设淘汰的A3，这个时候A4,A5也会被淘汰，剩下的马如下：

A A1,A2
B B1,B2,B3,B4
C C1,C2,C3
D D1,D2
E E1

我们再来考虑一个问题，四个标红的马中已经确定了第二名和第三名，那么在剩下的七个黑色的马中进入四五名的最多也只有两个名额。这里对于第二名和第三名的情况也得分情况来讨论，第二名和第三名的组合只有三种（《A2,B1》《B1,B2》《B1,C1》）

I、假设A2,B1（B1,A2）是第二名和第三名，由于3中的比赛，那么此时第四名也将确定出来，如果C1>B2，那么第五名将在B2,C2,D1中产生，如果B2>C1,第五名将在C1和B3中产生，对于这种情况，顶多再需要1场比赛即可确定前五，总共是8场比赛即可。
II、假设B1,B2是第二名和第三名。

如果此时A2>C1，那么对于C1向右或者向下的马中是无法进入四五名，那么剩下的马如下：

A A1,A2
B B1,B2,B3,B4
C C1

四五将在绿色的马中产生，此时最多只需要比赛一场即可，总共是8场比赛即可。

但是如果C1>A2，这个时候第四名只能在B3和C1中出现。此时经过排除剩下的马如下：

A A1,A2
B B1,B2,B3,B4
C C1,C2
D D1

如果第四名是B3，那么第五名只能是C1和B4中的一个，此时这场比赛只要安排B3,B4,C1同时出现就能决定四五名。（1）

如果第四名是C1，那么第五名可能是A2,B3,C2,D1中的一个,此时的比赛要安排A2,B3,C1,C2,D1同时出现。（2）

综合（1）和（2），对于这种情况，无法通过一场比赛确定四五名，所以总共是9场比赛。
III、假设B1,C1是第二名和第三名

如果此时A2>B2，我们只能排除B3和B4,剩下的马如下：

A A1,A2
B B1,B2
C C1,C2,C3
D D1,D2
E E1

很明显此时至少还需要两场比赛才能确定四五名，所以总共是9场。B2>A2情况类似。

2）、对于淘汰的B2,C1也可以展开像上述一样的讨论。

5、总之，由上述可以得出，我们至少需要比赛8场或者9场才能确定前五名的马。

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