文章目录

  • 单调栈 解题报告
    • PKU 2082 Terrible Sets
    • HDU 2430 Beans
    • HDU 4252 A Famous City
    • PKU 2796 Feel Good
    • HDU 3410 Passing the Message
    • HDU 6759 Leading Robots
    • HDU 5033 Building
    • HDU 4923 Room and Moor
    • PKU 3250 Bad Hair Day

单调栈 解题报告

PKU 2082 Terrible Sets

链接：PKU 2082 Terrible Sets
题意：把矩形在x轴上排列好以后就是求最大内接子矩形的问题了。

HDU 2430 Beans

链接：HDU 2430 Beans
题意：给定 n(n<=106)n(n <=10^6)n(n<=106) 个数字 a[i]a[i]a[i] 和两个数字 KKK 和 P(0<=P<K)P(0 <= P < K)P(0<=P<K)，要求求一个区间 (i,j)(i,j)(i,j)，使得区间和最大，并且区间里的数对 K 取模小于等于 P。求最大的 sum(i,j)/Ksum(i,j) / Ksum(i,j)/K。

  • 题解：前缀和 + 单调栈
  • 1）首先把所有的数求出前缀和以后对 KKK 取模。得到前缀和数组 sum[i]sum[i]sum[i] 代表前 iii 项的和（为了方便，下标从1开始）。
  • 2）令区间 (i,j)(i,j)(i,j) 的和模上 KKK 的值是：M(i,j)=(sum[j]−sum[i−1])modKM(i,j) = (sum[j] - sum[i-1])\mod KM(i,j)=(sum[j]−sum[i−1])modK 我们需要做的就是对于任意一个 jjj，要让 iii 的值尽量小（这样区间才能尽量长），并且 M(i,j)<=PM(i,j) <= PM(i,j)<=P。
  • 3）枚举 jjj，然后转化成线段树找区间最值问题。

HDU 4252 A Famous City

链接：HDU 4252 A Famous City
题意：给定一个直方图区域，问最少用多少的矩形能把这些区域填满。直方图的每个高度按照 h[i](1<=i<=n)h[i] (1 <= i <= n)h[i](1<=i<=n) 的形式给出。 一种解决方案如下：答案为 8 。

  • 题解：考虑如下三种情况：
  • 1）如果整个图是单调递增的，即h[i−1]<h[i]h[i-1] < h[i]h[i−1]<h[i]，那么需要的矩形数就是不同高度的数目；
  • 2）如果中间有一次出现 h[i−1]>h[i]h[i-1] > h[i]h[i−1]>h[i]，那么就要考虑 h[i]h[i]h[i] 能否和之前出现过的相同高度合并（如上图橙色方柱所示）；
  • 3）如果 h[i−1]==h[i]h[i-1] == h[i]h[i−1]==h[i]，那么 h[i]h[i]h[i] 没有任何作用；
  • 基于以上性质，用一个单调栈来维护一个单调递增序列，对 栈顶元素 toptoptop 和 当前元素 iii 进行高度判定如下：
  • 1）栈为空或者 h[top]<h[i]h[top] < h[i]h[top]<h[i]，如果 h[i]>0h[i] > 0h[i]>0 则入栈；
  • 2）栈非空并且 h[top]==h[i]h[top] == h[i]h[top]==h[i]，不作处理；
  • 3）栈非空并且 h[top]>h[i]h[top] > h[i]h[top]>h[i]，不断弹出元素，并且计数器累加；当栈为空或者出现 h[top]<h[i]h[top] < h[i]h[top]<h[i]，和 1）判定类似，h[i]>0h[i] > 0h[i]>0 则入栈；
  • [ 注意：为了让所有元素都能出栈，元素末尾加入一个 -1]

PKU 2796 Feel Good

链接：PKU 2796 Feel Good
题意：给定 nnn 个数 a[i](0<=a[i]<=106)a[i] (0 <= a[i] <= 10^6)a[i](0<=a[i]<=106)，令 sum(i,j)=∑k=ija[k]sum(i,j) = \sum_{k=i}^j a[k]sum(i,j)=∑k=ij​a[k]，求 sum(i,j)∗mina(i,j)sum(i,j)*min_a(i,j)sum(i,j)∗mina​(i,j) 的最大值。

  • 沿用 HDU 1506 Largest Rectangle in a Histogram 的思想，用单调栈维护一个单调不降序列，预处理前缀和。注意有 0 的情况，所以最先的候选最大值不能设定为 0，要定为小于零的数。

HDU 3410 Passing the Message

链接：HDU 3410 Passing the Message
题意：给定 nnn 个数 a[i](0<=a[i]<=105)a[i] (0 <= a[i] <= 10^5)a[i](0<=a[i]<=105)，求每个数左边比它小最大的数，以及每个数右边比它小最大的数。

  • 题解：单调递减栈
  • 两边分别扫描，然后维护一个单调递减的栈即可；

HDU 6759 Leading Robots

链接：HDU 6759 Leading Robots
题意：给定 n(n<=50000)n( n <= 50000)n(n<=50000) 个人的起始位置 sss 和加速度 aaa，每个人都做匀加速运动，问有多少个人能在某个时刻成为 “领头羊” （即没有任何人能与之比肩）。

  • 需要考虑的几个思路：
  • 1）每个人的位移曲线是一条相对于 yyy 轴对称的抛物线，且只在第一象限；
  • 2）任意两条抛物线要么重合，要么只可能存在一个交点，换言之，如果起始位置一开始落后，那么超越的唯一机会就是加速度比起始位置大于他的人都大；
  • 3）起始位置相同的两个人，加速度小的那个永远没有机会成为 “领头羊”；
  • 4）起始位置相同，加速度也相同的两个人都没有机会成为 “领头羊”；
  • 对于两个人 RiR_iRi​ 和 RjR_jRj​，满足 (si>sj且ai<aj)(s_i > s_j 且 a_i < a_j)(si​>sj​且ai​<aj​)，则 aja_jaj​ 追上 aia_iai​ 的时间为：t>=2(si−sj)aj−ait >= \sqrt {\frac {2(s_i - s_j)}{a_j - a_i}}t>=aj​−ai​2(si​−sj​)​​
  • 考虑三个人，R1=(s1,a1)，R2=(s2,a2)，R3=(s3,a3)R_1 = (s_1, a_1)，R_2 = (s_2, a_2)，R_3 = (s_3, a_3)R1​=(s1​,a1​)，R2​=(s2​,a2​)，R3​=(s3​,a3​)，并且满足(s1>s2>s3)(s_1 > s_2 > s_3)(s1​>s2​>s3​)，R2R_2R2​ 想要追上来的必要条件是 (a2>a1)(a_2 > a_1)(a2​>a1​)，R3R_3R3​ 想要追上来的条件是 (a3>max(a1,a2))(a_3 > max(a_1,a_2))(a3​>max(a1​,a2​))。但是这样还不够，试想一下，如果 R3R_3R3​ 追上 R2R_2R2​ 的时间早于 R2R_2R2​ 追上 R1R_1R1​ 的时间，那么 R2R_2R2​ 就再也没有机会成为第一了。
  • 那么，我们对于一个位置递减，加速度递增的序列，我们需要维护一个 “追上时间” 单调递增的序列；
  • 算法设计如下：
  • 1）首先对数据进行排序，按照起始位置作为第一关键字递减，位置相同则加速度递减；
  • 2）对位置相同，加速度小元素直接去掉；对两个关键字都相同的元素进行哈希标记，不作为 “领头羊” 候选人；
  • 3）对数据进行从前往后的扫描，记录当前加速度最大值为 MaxaMax_aMaxa​，对于所有扫描到的加速度小于等于 MaxaMax_aMaxa​ 的进行跳过处理，每次扫描完毕更新加速度最大值：
  • 3.a）如果栈中小于两个元素，则入栈当前元素；
  • 3.b）否则计算栈顶两个元素的 “追上时间” ttopt_{top}ttop​，以及栈顶元素和当前元素的 “追上时间” tcurt_{cur}tcur​，如果 ttop>=tcurt_{top} >= t_{cur}ttop​>=tcur​，则弹出栈顶元素， 计算完毕将当前元素入栈；
  • 扫描完毕后，将所有栈顶元素出栈，并且没有被 哈希标记 的人就是能够在某个时刻成为 “领头羊” 的人；
  • [ 注意：计算时间的时候 开方 + 除法 会引起精度误差，比较的时候可以转换成乘法来操作]

HDU 5033 Building

链接：HDU 5033 Building
题意：给定 n(n<=105)n(n <= 10^5)n(n<=105) 个建筑的 x[i]x[i]x[i] 坐标和高度 h[i]h[i]h[i]，然后 Q(Q<=105)Q(Q <= 10^5)Q(Q<=105) 次询问，问在某个位置 ppp 需要多少的仰角才能看到天空；

  • 题解：离线算法 + 单调栈的斜率优化
  • 对于任何一个 ppp 都要考虑左右两边的情况，但是左右两边的情况处理起来是一样的，所以这里只考虑左边；然后进行逆序以后再算一次，再把两个和 x 轴的角度相加，用 180度 去减就行。那么有以下几个注意点：
  • 1）对于某个 ppp 位置，位于它左边的建筑，随着 xxx 递增，hhh 一定是单调递减的，不然肯定不会成为阻碍视角的最高仰角的那个建筑。
  • 2）一旦出现三个高度单调递减的建筑，它们的形状组成一个下凹的形状，那么中间的那个建筑，一定是不可能成为阻碍视角的建筑，所以可以认为中间的建筑不存在（可以随便找个的坐标轴上的点往中间的建筑做连线，一定是交在第一个建筑或者第三个建筑上）；
  • 3）于是对于建筑序列，我们只需要维护一个相邻建筑逐渐变陡峭的序列（表现在数值上就是斜率逐渐往负的方向越来越大），可以用单调栈来维护这个序列；
  • 4）对于任意一个位置 ppp，现在要找到那个影响它视野的建筑，可以检查栈中的建筑，令栈顶两个建筑组成的斜率为 KtopK_{top}Ktop​，栈顶建筑和 ppp 位置组成的斜率为 KpK_pKp​，如果 Ktop<=KpK_{top} <= K_pKtop​<=Kp​（注意斜率恒为负） ，则出栈，继续判断；否则，即找到了那个阻碍它视野的建筑；

HDU 4923 Room and Moor

链接：HDU 4923 Room and Moor
题意：给定 n(n<=100000)n(n <= 100000)n(n<=100000) 个元素的序列 A，只由 0 和 1 组成，求一个非递减序列 B，满足如下条件：

  • 题意：单调栈
  • 首先把所有数分段拆成如下这样的段：111000, 11100, 110, 1111110，即都是有 1 开头， 0结尾，那么对于某一段，假设 1 的个数为 aaa，0 的个数为 bbb，令选择的的 Bi=xB_i = xBi​=x，则有差的平方和为：a(x−1)2+bx2a(x-1)^2 + bx^2a(x−1)2+bx2 利用抛物线的极值可以知道，当 x=aa+bx = \frac {a} {a + b}x=a+ba​ 时取得最小值。
  • 如果这样求出来的 BiB_iBi​ 都能够单调不降，那么问题的解也就出来了；
  • 当出现 Bi>Bi+1B_i > B_{i+1}Bi​>Bi+1​ 的时候，我们可以选择将 BiB_iBi​ 和 Bi+1B_{i+1}Bi+1​ 进行合并，用单调递增的栈来维护这个序列，知道栈中的元素都是单调递增位置。

PKU 3250 Bad Hair Day

链接：PKU 3250 Bad Hair Day
题意：n(n<=105)n(n <= 10^5)n(n<=105) 个人从左往右顺序排列，给定他们的高度 h[i]h[i]h[i]，，第 iii 个人往右看能够看到比他高度低的人的个数记为 s[i]s[i]s[i]，求 ∑i=1ns[i]\sum_{i=1}^{n} s[i]∑i=1n​s[i]。

  • 我们考虑下图的两种情况：
  • 1）如下图所示，当前的人编号为 ccc，aaa 和 bbb 呈逆序排列，那么 aaa 和 bbb 的解都是 ccc；
  • 2）如下图所示，当前的人编号为 ccc，aaa 和 bbb 呈顺序排列（或者 a 和 b 高度相等），那么只有 bbb 的解是 ccc；在这个问题中我们发现， 当求bbb 的解时，aaa 的解已经求出来了，不再需要；
  • 把 aaa 和 bbb 理解成栈中的元素，我们首先在序列末尾插入一个无限大的数，然后维护一个单调递减的栈，从左往右枚举每个人的高度 h[i]h[i]h[i]，然后取 栈顶元素高度 和 当前高度 比较，如果 栈顶元素高度 <= 当前高度，代表栈顶的那个人能够看到的最远的人就是当前第 iii 个人，则累加答案，并且出栈，迭代循环处理，直到 栈顶元素高度 > 当前高度 或者 栈空，再将 iii 入栈；
  • 如图，红色方柱为 h[i]h[i]h[i]，绿色方柱均为本次处理要出栈的元素，蓝色方柱为处理完还在栈中的元素，栈中元素始终保持单调递减。

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