最小路径覆盖（最小路径覆盖）

最小路径覆盖

Description

定义：一个不含圈的有向图G中，G的一个路径覆盖是一个其结点不相交的路径集合P，图中的每一个结点仅包含于P中的某一条路径。路径可以从任意结点开始和结束，且长度也为任意值，包括0。请你求任意一个不含圈的有向图G的最小路径覆盖数。

提示：最小路径覆盖数＝G的定点数－最小路径覆盖中的边数
最小路径覆盖数＝原图G的顶点数－二分图的最大匹配数

Input

t 表示有t组数据；n 表示n个顶点（n<=120）；m 表示有m条边；
　　　接下来m行，每行有两个数 i，j表示一条有向边。

Output

最小路径覆盖数

Sample Input

2
4
3
3 4
1 3
2 3
3
3
1 3
1 2
2 3

Sample Output

2
1

解题思路

这题就是一道最小路径覆盖模板题目

最小路径覆盖

定义：在一个有向图中，找出最少的路径，使得这些路径经过了所有的点。最小路径覆盖分为最小不相交路径覆盖和最小可相交路径覆盖。最小不相交路径覆盖：每一条路径经过的顶点各不相同。如图，其最小路径覆盖数为3。即1->3>4，2，5。最小可相交路径覆盖：每一条路径经过的顶点可以相同。如果其最小路径覆盖数为2。即1->3->4，2->3>5。特别的，每个点自己也可以称为是路径覆盖，只不过路径的长度是0。

什么是有向图G的最小路径覆盖？首先，图G必须是有向无环的。路径覆盖就是在图G中找出一些路径，每条路径从起点走到终点并且标记中间经过的点。最后，每个点只被标记一次。选出的这些路径组成路径覆盖。如果找出最少的路径成为一个路径覆盖，则称为最小路径覆盖。

在上图中,以下两个均是路径覆盖： a、<1,2> <4,6> <3> <5> b、<1,2,4,6> <3> <5> 在上面两个覆盖中b为最小覆盖，|b|=3,而|a|=4。（注意一个单独的节点也是一个路径）

由原图G构造对应的二分图S，将原图G中的每个点i拆成两个点i1和i2，i1和i2属于S。i1组成二分图的X集合，i2组成Y集合。若原图G中有边<i,j>，则在S中有边<i1,j2>，则上面的图可以得到如下二分图：法：把原图的每个点V拆成Vx和Vy两个点，如果有一条有向边A->B，那么就加边Ax−>By 。这样就得到了一个二分图。那么最小路径覆盖=原图的结点数-新图的最大匹配数。

证明：一开始每个点都是独立的为一条路径，总共有n条不相交路径。我们每次在二分图里找一条匹配边就相当于把两条路径合成了一条路径，也就相当于路径数减少了1。所以找到了几条匹配边，路径数就减少了多少。所以有最小路径覆盖=原图的结点数-新图的最大匹配数。因为路径之间不能有公共点，所以加的边之间也不能有公共点，这就是匹配的定义。

AC代码

#include<iostream>
#include<cstring>
#include<cstdio>
using namespace std;
long long n,m,T,x,y,tot,answer,head[1005],cover[1005],father[1005];
struct node//结构体
{long long to,next;
}a[1000005];
void add(long long x,long long y)//邻接表
{a[++tot]=(node){y,head[x]};head[x]=tot;
}
bool dfs(long long x)//dfs
{if(x==0)return true;for(long long i=head[x];i;i=a[i].next)if(cover[a[i].to]==0){cover[a[i].to]=1;long long sum=father[a[i].to];father[a[i].to]=x;if(sum==0||dfs(sum))return true;father[a[i].to]=sum;}return false;
}
int main()
{scanf("%lld",&T);while(T--){tot=answer=0;//清零memset(head,0,sizeof(head));memset(father,0,sizeof(father));scanf("%lld%lld",&n,&m);for(long long i=1;i<=m;i++){scanf("%lld%lld",&x,&y);add(x,y);//建边}for(long long i=1;i<=n;i++)//匈牙利算法{memset(cover,0,sizeof(cover));dfs(i);}for(long long i=1;i<=n;i++)if(father[i]!=0)answer++;printf("%lld\n",n-answer);}return 0;
}

谢谢