Abstract

智能反射面（IRS）包含有大量的低成本无源器件，每个无源器件都可以独立的将入射信号反射出去，并且调节其相位，从而合起来实现三维无源波束赋形，而不需要射频（RF）传输链路。本文研究了IRS辅助下单蜂窝无线网络，其中IRS部署在一个多天线接入点（AP）和多个单天线用户之间，支持其间传输。通过联合优化有源天线阵列的传输端波束赋形和IRS的无源移相器的反射端波束赋形，来最小化总传输功率，约束条件是用户个人的信干噪比（SINR）。进一步我们考虑了当IRS反射器件趋近无穷大时，其IRS无源波束赋形的极限情况，并且将其与传统有源波束赋形/中继进行了对比。仿真结果表明IRS辅助的MIMO系统相对于没使用IRS的大规模MIMO系统，可以在有源天线/射频链路显著减小的情况下，实现同等的传输速率。

Introduction

背景

为实现针对到来的5G网络下至少1000亿设备实现1000倍网络容量的增加以及无处不在的无线连接，在上个十年，人们提出了许多无线技术，主要包括超密集网络（UDN），大规模MIMO和毫米波通信。然而网络的能效和硬件成本仍然是实际系统中的关键问题。

IRS介绍

IRS是一个平面阵列，包含有大量的可重构无源器件（即低成本印刷二极管），每个器件都可以独立的针对入射信号产生一个特定的相移（由相连的智能控制器进行控制），从而合起来改变反射信号传输。通过IRS所有无源器件智能的调节相移，反射信号既可以与其他路径的信号在预期接收机处相干叠加，也可以在非预期接收机处进行相消叠加，从而减少干扰、提高安全性/隐私性。

IRS与AF对比

放大转发（AF）中继通过放大和再生信号来协助源-目的地传输。IRS不需要传输模块，只需要作为一个无源阵列反射接收信号，因此IRS没有传输功率损耗。
有源AF中继通常以半双工（HD）模式工作，因此频谱效率方面要比全双工（FD）模式工作的IRS低。尽管AF中继也能工作于FD，但是这将会使其不可避免的受到自身严重的干扰，从而需要有效的干扰消除技术。

IRS与反向散射通信对比

射频识别（RFID）标签的反向散射通信，需要通过发送者接发送信号之后反射回来的信号，来实现与接收者通信。IRS主要用于增强现有的通信链路性能，而不是通过反射来传递自己的信息。因此在反向散射通信中，从发送者到接收者的直接链路，是意外干扰，需要在接收者处进行消除。而在IRS增强的通信中，直接链路信号和反射链路信号承载着相同的有用信息，因此可以在接收者处相干叠加，最大化接收功率。

IRS和大规模MIMO对比

IRS和大规模MIMO相比，阵列架构（无源vs有源），运行机制（反射vs传输）

技术	运行机制	双工	所需RF链路个数	硬件成本	能耗	作用
IRS	无源，反射	全双工	0	低	低	协助者
反向散射通信	无源，反射	全双工	0	非常低	非常低	源
MIMO 中继	有源，接收和发送	半/全双工	N	高	高	协助者
大规模MIMO	有源，发送/接收	半/全双工	N	非常高	非常高	源/目的

从实施角度来看，IRS有许多吸引人的优点，例如低剖面，重量轻，几何共形，从而使得其容易被贴/移动到墙面/天花板上，提供了实际部署的高可行性。例如，在有接入点（AP）/基站（BS）的视距传输（LoS）内，将IRS部署在墙面/天花板上，在IRS附近的信号强度可以得到显著提升。另外，将IRS集成到现有网络中（例如蜂窝网络或者WiFi），可以对用户透明，即不需要改变任何用户设备的软硬件情况。上述这些特点使得IFS成为一项针对于未来无线网络的令人信服的新技术，尤其是在室内高密度用户的应用（例如礼堂、购物广场、展览中心、机场等等）。

本文工作

模型

本文考虑IRS辅助的单蜂窝多用户多输入单输出（MISO）通信系统，AP是单个多天线，用户是多个单天线。考虑特殊情况：没有任何干扰的单用户传输，当AP-user链路明显强于AP-IRS链路时，AP应该将波束直接打向用户，如果是AP-user链路被障碍物挡住了，AP应该将其波束调整为朝向IRS，从而最大限度的利用其反射信号来服务用户。
此外，在多用户设置下，一个IRS辅助系统主要受到两方面影响：单用户情况下所需信号的波束赋形和多用户之间的空间干扰抑制。一个临近IRS的用户相比于距离IRS较远的用户而言，预计将会能够承受更多来自AP端的干扰。这是由于IRS的相移可以进行调节，从而被IRS反射的干扰可以与临近用户的AP-user链路进行相消，以抑制其整体接收干扰。因此，这为在AP处设计发射波束成形以服务于IRS覆盖区域之外的其他用户提供了更大的灵活性，从而提高系统中所有用户的SINR性能。因此，AP处的发射波束赋形需要与基于AP-IRS，IRS-users和AP-users的IRS相移进行联合设计，从而得到充分的网络波束赋形增益。

难题

非凸SINR约束和由无源移相器产生的信号单位模数约束（signal unit-modulus constraints）。即使之前研究了恒定包络预编码和混合数字/模拟处理，这些设计主要受限于发送端或接收端，并不适用于设计AP的有源波束赋形和IRS的无源波束赋形联合优化。

解决方法

考虑单用户场景，应用半正定松弛（SDR）技术来获得一个高质量近似解和一个最优值的下届，从而进行对于近似解松弛度？（tightness）的估计。为了降低计算的复杂度，提出了一个基于相移和传输波束赋形向量交替优化的高效算法，最优解通过固定对方值的闭式解得出。
将单用户场景扩展为多用户场景，提出了两个算法来获得能够权衡性能与复杂度的次优解。

仿真结果

与传统在单用户和多用户设置中均不使用IRS情况的设置相比，部署IRS可以显著降低在AP处为满足用户SINR目标所需的发射功率。
对于临近IRS的但用户而言，当反射元素个数N非常大的时候，AP的传输功率随着N的增加而降低，数量级大约为 N 2 N^2 N2。

系统模型和问题表述

系统建模

单天线用户数量为 K K K,AP的天线个数为 M M M，IRS反射单元个数为 N N N。IRS配备有控制器，可以协调它在两种工作模式之间切换（用于信道估计的接收模式，用于信号传输的反射模式）。由于有较高的路径损耗，因此假设被IRS反射高于两次的信号都可以被忽略。为了描述IRS带来的理论性能增益，我们假设在AP端所有相关信道的信道状态信息（CSI）是完全已知的。除此之外所有信道采用准静态平坦衰落模型？。由于IRS是一个无源反射设备，我们对于上下行传输考虑为时分双工（TDD）协议，并且假设下行链路CSI通过上行链路训练的信道互易性来获得。

AP-IRS等效基带信道为 G ∈ C N × M G\isin\cnums^{N\times M} G∈CN×M
IRS-user k k k等效基带信道为 h r , k H ∈ C 1 × N h_{r,k}^H\isin\cnums^{1\times N} hr,kH∈C1×N
AP-user k k k等效基带信道为 h d , k H ∈ C 1 × M h_{d,k}^H\isin\cnums^{1\times M} hd,kH∈C1×M，其中 k = 1 , ⋯ , K k=1,\cdots,K k=1,⋯,K。
取 θ = [ θ 1 , ⋯ , θ N ] \theta=[\theta_1,\cdots,\theta_N] θ=[θ1,⋯,θN]，定义对角矩阵 Θ = d i a g [ β 1 e j θ 1 , ⋯ , β N e j θ N ] \Theta=diag[\beta_1e^{j\theta_1},\cdots,\beta_Ne^{j\theta_N}] Θ=diag[β1ejθ1,⋯,βNejθN]作为IRS的反射系数矩阵，其中 θ n ∈ [ 0 , 2 π ) \theta_n\isin[0,2\pi) θn∈[0,2π)代表了IRS第 n n n个元件反射系数的相位, β n ∈ [ 0 , 1 ] \beta_n\isin[0,1] βn∈[0,1]代表了IRS第 n n n个元件反射系数的幅度。在实践中，IRS的每个元素通常都是为了最大限度地提高信号反射。因此，为了简单起见，我们设置 β n = 1 , ∀ n . \beta_n=1,\forall n. βn=1,∀n.

本文考虑在AP上线性传输预编码，为每个用户分配一个专用波束形成向量。因此AP处复杂的基带传输信号可以被表述为 x = ∑ k = 1 K w k s k \bm{x}=\sum_{k=1}^K\bm{w}_ks_k x=∑k=1Kwksk，其中 s k s_k sk代表传输到用户 k k k的数据， w k ∈ C M × 1 \bm{w}_k\isin\cnums^{M\times 1} wk∈CM×1是相应的波束赋形向量。假设 s k , k = 1 , ⋯ , K s_k,k=1,\cdots,K sk,k=1,⋯,K是独立同分布，均值为0，方差为1（归一化功率）。用户 k k k所收到的AP-user 和AP-IRS-user两个信道的信号可以表示为
y k = ( h r , k H Θ G + h d , k H ) ∑ j = 1 k w j s j + n k , k = 1 , ⋯ , K , ( 1 ) \ y_k=(\bm{h}_{r,k}^{H}\bm\Theta\bm{G}+\bm{h}_{d,k}^{H})\displaystyle\sum_{j=1}^{k}\bm{w}_js_j+n_k,\kern2em k=1,\cdots,K,\kern2em (1) yk=(hr,kHΘG+hd,kH)j=1∑kwjsj+nk,k=1,⋯,K,(1)
其中 n k ∼ C N ( 0 , σ 2 ) n_k\thicksim\mathcal{CN}(0,\sigma^2) nk∼CN(0,σ2)，代表了在用户 k k k处接收到的加性高斯白噪声（AWGN）。因此，用户 k k k的SINR为
S I N R k = ∣ ( h r , k H Θ G + h d , k H ) w k ∣ 2 ∑ j ≠ k K ∣ ( h r , k H Θ G + h d , k H ) w k ∣ 2 + σ 2 , ∀ k . ( 2 ) SINR_k=\dfrac{|(\bm{h}_{r,k}^H\bm\Theta\bm{G}+\bm{h}_{d,k}^H)\bm{w}_k|^2}{\sum_{j\neq k}^K|(\bm{h}_{r,k}^H\bm\Theta\bm{G}+\bm{h}_{d,k}^H)\bm{w}_k|^2+\sigma^2},\kern2em \forall k.\kern2em (2) SINRk=∑j=kK∣(hr,kHΘG+hd,kH)wk∣2+σ2∣(hr,kHΘG+hd,kH)wk∣2,∀k.(2)

问题表述

令 W = [ w 1 , ⋯ , w K ] ∈ C M × K , H r = [ h r , 1 , ⋯ , h r , K ] ∈ C N × K , H d = [ h d , 1 , ⋯ , h d , K ] ∈ C M × K \bm W=[\bm{w}_1,\cdots,\bm{w}_K]\isin\mathbb{C}^{M\times K},\\\bm{H}_r=[\bm{h}_{r,1},\cdots,\bm{h}_{r,K}]\isin\mathbb C^{N\times K},\\\bm H_d=[\bm h_{d,1},\cdots,\bm h_{d,K}]\isin \mathbb{C}^{M\times K} W=[w1,⋯,wK]∈CM×K,Hr=[hr,1,⋯,hr,K]∈CN×K,Hd=[hd,1,⋯,hd,K]∈CM×K
本文目的是通过联合优化AP的传输波束赋形与IRS的反射波束赋形，从而最小化AP的整体传输功率。限制条件为所有用户个人的SINR。因此问题可表述为
( P 1 ) : min W , θ ∑ k = 1 K ∥ w k ∥ 2 ( 3 ) s . t . ∣ ( h r , k H Θ G + h d , k H ) w k ∣ 2 ∑ j ≠ k K ∣ ( h r , k H Θ G + h d , k H ) w j ∣ 2 + σ 2 ≥ γ k , ∀ k . ( 4 ) 0 ≤ θ n ≤ 2 π , n = 1 , ⋯ , N , ( 5 ) (\textnormal P1):\kern2em\underset{\bm W,\bm \theta}\textnormal{min}\displaystyle\sum_{k=1}^{K}\|\bm w_k\|^2\kern2em (3)\\s.t.\kern2em \dfrac{|(\bm{h}_{r,k}^H\bm\Theta\bm{G}+\bm{h}_{d,k}^H)\bm{w}_k|^2}{\sum_{j\neq k}^K|(\bm{h}_{r,k}^H\bm\Theta\bm{G}+\bm{h}_{d,k}^H)\bm{w}_j|^2+\sigma^2}\ge\gamma_k,\kern2em \forall k.\kern2em (4)\\0\le\theta_n\le2\pi,n=1,\cdots,N,\kern2em(5) (P1):W,θmink=1∑K∥wk∥2(3)s.t.∑j=kK∣(hr,kHΘG+hd,kH)wj∣2+σ2∣(hr,kHΘG+hd,kH)wk∣2≥γk,∀k.(4)0≤θn≤2π,n=1,⋯,N,(5)
其中 γ k > 0 \gamma_k>0 γk>0是用户 k k k SINR需求的最小值。

尽管（P1）的目标函数和约束（5）是凸的，但是（P1）的约束（4）是非凸的，传输波束赋形和相移是耦合的。下一节将会分别使用SDR和交替优化的方法来求得单用户情况下的近似解，进而推广到多用户。
在解决（P1）之前，给出了其可行性的一个充分条件，令 H = [ h 1 , ⋯ , h K ] ∈ C M × K \bm H=[\bm h_1,\cdots,\bm h_K]\isin\mathbb C^{M\times K} H=[h1,⋯,hK]∈CM×K其中 h k H = h r , k H Θ G + h d , k H , ∀ k \bm h_k^H=\bm{h}_{r,k}^H\bm\Theta\bm{G}+\bm{h}_{d,k}^H,\forall k hkH=hr,kHΘG+hd,kH,∀k

命题1：对于任何有限用户的SINR目标 γ k \gamma_k γk，如果 r a n k ( G H H r + H d ) = K rank(\bm G^H\bm H_r+\bm H_d)=K rank(GHHr+Hd)=K，那么问题（P1）是可行的。
证明看不懂

单用户系统

本节考虑单用户场景，即 K = 1 K=1 K=1。在这种情况下没有用户间的干扰，因此（P1）可以被简化为
( P 2 ) : min w , θ ∥ w k ∥ 2 ( 7 ) s . t . ∣ ( h r H Θ G + h d H ) w ∣ 2 ≥ γ σ 2 , ( 8 ) 0 ≤ θ n ≤ 2 π , n = 1 , ⋯ , N . ( 9 ) (\textnormal P2):\kern2em\underset{\bm w,\bm \theta}\textnormal{min}\|\bm w_k\|^2\kern2em (7)\\s.t.\kern2em |(\bm{h}_r^H\bm\Theta\bm{G}+\bm{h}_d^H)\bm w|^2\ge\gamma\sigma^2,\kern2em (8)\\0\le\theta_n\le2\pi,n=1,\cdots,N.\kern2em(9) (P2):w,θmin∥wk∥2(7)s.t.∣(hrHΘG+hdH)w∣2≥γσ2,(8)0≤θn≤2π,n=1,⋯,N.(9)
尽管简化了，问题（P2）仍然是一个非凸优化问题，因为（8）左边相对于 w w w和 θ \theta θ不是共同凹的？。在接下来的两小节中，我们分别通过SDR和交替优化的方法来解决问题（P2），在下一节中将会扩展到多用户系统。

SDR

首先采用SDR来解决问题（P2），有助于获得（P2）最佳值的下限，以评估其他次优解的性能差距？。 对于任意给定的相移 θ \theta θ，众所周知，最大传输比（MRT）是问题（P2）的最佳发射波束成形的解决方案。即 w ∗ = P ( h r H Θ G + h d H ) H ∥ h r H Θ G + h d H ∥ \bm w^*=\sqrt P\dfrac{(\bm{h}_r^H\bm\Theta\bm{G}+\bm{h}_d^H)^H}{\|\bm{h}_r^H\bm\Theta\bm{G}+\bm{h}_d^H\|} w∗=P ∥hrHΘG+hdH∥(hrHΘG+hdH)H，其中 P P P代表AP的传输功率。将 w ∗ \bm w^* w∗带入问题（P2）中，可得
min P , θ P ( 10 ) s . t . P ∥ h r H Θ G + h d H ∥ 2 ≥ γ σ 2 , ( 11 ) 0 ≤ θ n ≤ 2 π , ∀ n . ( 12 ) \underset{P,\bm \theta}\textnormal{min}\kern1emP\kern2em (10)\\s.t.\kern2em P\|\bm{h}_r^H\bm\Theta\bm{G}+\bm{h}_d^H\|^2\ge\gamma\sigma^2,\kern2em (11)\\0\le\theta_n\le2\pi,\forall n.\kern2em(12) P,θminP(10)s.t.P∥hrHΘG+hdH∥2≥γσ2,(11)0≤θn≤2π,∀n.(12)
不难证明最优传输功率满足 P ∗ = γ σ 2 ∥ h r H Θ G + h d H ∥ 2 P^*=\dfrac{\gamma\sigma^2}{\|\bm{h}_r^H\bm\Theta\bm{G}+\bm{h}_d^H\|^2} P∗=∥hrHΘG+hdH∥2γσ2，因此最小化传输功率等效为最大化合并信道功率增益，即
max θ ∥ h r H Θ G + h d H ∥ 2 ( 13 ) s . t . 0 ≤ θ n ≤ 2 π , ∀ n . ( 14 ) \underset\theta\textnormal {max}\kern2em \|\bm{h}_r^H\bm\Theta\bm{G}+\bm{h}_d^H\|^2\kern2em (13)\\s.t.\kern2em 0\le\theta_n\le2\pi,\forall n.\kern2em (14) θmax∥hrHΘG+hdH∥2(13)s.t.0≤θn≤2π,∀n.(14)
令 v = [ v 1 , ⋯ , v N ] H \bm v=[v_1,\cdots,v_N]^H v=[v1,⋯,vN]H，其中 v n = e j θ n , ∀ n . v_n=e^{j\theta_n},\forall n. vn=ejθn,∀n.此时约束（14）等效为一个单位模数约束： ∣ v n ∣ 2 = 1 , ∀ n . |v_n|^2=1,\forall n. ∣vn∣2=1,∀n.通过改变变量 h r H Θ G = v H Φ \bm{h}_r^H\bm\Theta\bm{G}=\bm v^H\bm \Phi hrHΘG=vHΦ，其中 Φ = d i a g ( h r H ) G ∈ C N × M \bm\Phi=diag(\bm h_r^H)\bm G\isin\mathbb C^{N\times M} Φ=diag(hrH)G∈CN×M，因此我们有 ∥ h r H Θ G + h d H ∥ 2 = ∥ v H Φ + h d H ∥ 2 . \|\bm{h}_r^H\bm\Theta\bm{G}+\bm{h}_d^H\|^2=\|\bm v^H\bm \Phi+\bm h_d^H\|^2. ∥hrHΘG+hdH∥2=∥vHΦ+hdH∥2.这样问题13可以等效为
max v v H Φ Φ H v + v H Φ h d + h d H Φ H v + ∥ h d H ∥ 2 ( 15 ) s . t . ∣ v n ∣ 2 = 1 , ∀ n . ( 16 ) \underset \bm v\textnormal {max}\kern2em \bm v^H\bm\Phi\bm\Phi^H\bm v+\bm v^H\bm\Phi\bm h_d+\bm h_d^H\bm\Phi^H\bm v+\|\bm h_d^H\|^2\kern2em (15)\\s.t.\kern2em |v_n|^2=1,\kern2em\forall n.\kern2em (16) vmaxvHΦΦHv+vHΦhd+hdHΦHv+∥hdH∥2(15)s.t.∣vn∣2=1,∀n.(16)
注意到问题（15）是一个非凸二次约束二次规划（QCQP,quadratically constrained quadratic program）,可以被改写为一个homogeneous QCQP(齐次QCQP？)。通过引入一个辅助变量 t t t，问题（15）可以等效为
max v ˉ v ˉ H R v ˉ + ∥ h d H ∥ 2 ( 17 ) s . t . ∣ v ˉ n ∣ 2 = 1 , n = 1 , ⋯ , N + 1 ( 18 ) \underset {\bar \bm v}\textnormal{max}\kern2em\bar\bm v^H\bm R\bar\bm v+\|\bm h_d^H\|^2\kern2em (17)\\s.t.\kern2em|\bar v_n|^2=1,\kern2em n=1,\cdots,N+1\kern2em (18) vˉmaxvˉHRvˉ+∥hdH∥2(17)s.t.∣vˉn∣2=1,n=1,⋯,N+1(18)
其中
R = [ Φ Φ H Φ h d h d H Φ H 0 ] , v ˉ = [ v t ] . \bm R=\begin{bmatrix} {\bm\Phi\bm\Phi^H}&{\bm\Phi\bm h_d}\\{\bm h_d^H\bm\Phi^H}&0 \end{bmatrix},\kern2em\bar\bm v=\begin{bmatrix} \bm v\\t \end{bmatrix}. R=[ΦΦHhdHΦHΦhd0],vˉ=[vt].
然而问题（17）仍然是非凸问题。注意到 v ˉ H R v ˉ = tr ( R v ˉ v ˉ H ) . \bar\bm v^H\bm R\bar\bm v=\textnormal {tr}(\bm R\bar\bm v\bar\bm v^H). vˉHRvˉ=tr(RvˉvˉH).定义 V = v ˉ v ˉ H \bm V=\bar\bm v\bar\bm v^H V=vˉvˉH，需要满足 V ⪰ 0 \bm V\succeq\bm 0 V⪰0且 rank ( V ) = 1. \textnormal {rank}(\bm V)=1. rank(V)=1.由于rank1约束是非凸的，我们应用SDR去松弛这个约束。因此问题（17）化简为
max V tr ( R V + ∥ h d H ∥ 2 ) ( 19 ) s . t . V n , n = 1 , n = 1 , ⋯ , N + 1 , ( 20 ) V ⪰ 0. ( 21 ) \underset {\bm V}\textnormal {max}\kern2em\textnormal {tr}(\bm {RV}+\|\bm h_d^H\|^2)\kern2em (19)\\s.t.\kern2em \bm V_{n,n}=1,\kern2em n=1,\cdots,N+1,\kern2em (20)\\\bm V\succeq0.\kern2em (21) Vmaxtr(RV+∥hdH∥2)(19)s.t.Vn,n=1,n=1,⋯,N+1,(20)V⪰0.(21)
问题（19）是一个凸半正定规划（SDP），可以通过CVX等凸优化求解器取得最优解。一般来说问题（19）的松弛解可能秩不为1，即 rank ( V ) ≠ 1 \textnormal{rank}(\bm V)\neq1 rank(V)=1这就表明问题（19）的最优目标值只是问题（17）的上界。因此，需要额外的步骤来从问题（19）的高阶解构造一阶解，具体在[1]，这里省略。

交替优化

上一节基于SDR的解决方法复杂度较高，为了实现低复杂度，本节我们提出了基于交替优化的交替次优解算法。AP端的传输波束赋形方向和传输功率将以交替的方法，与IRS端相移进行交替优化，直到实现收敛。
令 w = P w ˉ \bm w=\sqrt P\bar\bm w w=P wˉ，其中 w ˉ \bar\bm w wˉ代表了传输波束赋形方向， P P P为传输功率。对于给定的传输波束赋形方向 w ˉ \bar\bm w wˉ，（P2）简化为一个传输功率和相移的联合优化问题，
max θ ∣ ( h r H Θ G + h d H ) w ˉ ∣ 2 ( 22 ) s . t . 0 ≤ θ n ≤ 2 π , n = 1 , ⋯ , N . ( 23 ) \underset\bm\theta\textnormal {max}\kern2em|(\bm{h}_r^H\bm\Theta\bm{G}+\bm{h}_d^H)\bar\bm w|^2\kern2em (22)\\s.t.\kern2em 0\le\theta_n\le2\pi,\kern2em n=1,\cdots,N.\kern2em(23) θmax∣(hrHΘG+hdH)wˉ∣2(22)s.t.0≤θn≤2π,n=1,⋯,N.(23)
虽然上述问题是非凸的，但利用其目标函数的特殊结构，可以得到封闭形式的解:
∣ ( h r H Θ G + h d H ) w ˉ ∣ = ∣ h r H Θ G w ˉ + h d H w ˉ ∣ ≤ ( a ) ∣ h r H Θ G w ˉ ∣ + ∣ h d H w ˉ ∣ , ( 24 ) |(\bm{h}_r^H\bm\Theta\bm{G}+\bm{h}_d^H)\bar\bm w|{=|\bm{h}_r^H\bm\Theta\bm{G}\bar\bm w+\bm{h}_d^H\bar\bm w|}\overset {(a)}\leq{|\bm{h}_r^H\bm\Theta\bm{G}\bar\bm w|+|\bm{h}_d^H\bar\bm w|},\kern2em (24) ∣(hrHΘG+hdH)wˉ∣=∣hrHΘGwˉ+hdHwˉ∣≤(a)∣hrHΘGwˉ∣+∣hdHwˉ∣,(24)
其中 ( a ) (a) (a)是三角不等式，当 arg ( h r H Θ G w ˉ ) = arg ( h d H w ˉ ) ≜ ϕ 0 \textnormal {arg}(\bm{h}_r^H\bm\Theta\bm{G}\bar\bm w)=\textnormal {arg}(\bm{h}_d^H\bar\bm w)\triangleq\phi_0 arg(hrHΘGwˉ)=arg(hdHwˉ)≜ϕ0时，等号成立。
接下来我们将证明总会存在一个解 θ \theta θ，满足(a)的等式以及（23）的相移约束条件。令 h r H Θ G w ˉ = v H a \bm h_r^H\bm\Theta\bm G\bar\bm w=\bm v^H\bm a hrHΘGwˉ=vHa其中 v = [ e j θ 1 , ⋯ , e j θ N ] H , \bm v=[e^{j\theta_1},\cdots,e^{j\theta_N}]^H, v=[ejθ1,⋯,ejθN]H, a = diag ( h r H ) G w ˉ \bm a=\textnormal {diag}(\bm h_r^H)\bm G\bar\bm w a=diag(hrH)Gwˉ由（24）可得，问题（22）可以简化为
max v ∣ v H a ∣ 2 ( 25 ) s . t . ∣ v n ∣ = 1 , ∀ n = 1 , ⋯ , N , ( 26 ) arg ( v H a ) = ϕ 0 ( 27 ) \underset\bm v\textnormal {max}\kern2em|\bm v^H\bm a|^2\kern2em (25)\\s.t.\kern2em |v_n|=1,\forall n=1,\cdots,N,\kern2em (26)\\\textnormal {arg}(\bm v^H\bm a)=\phi_0\kern2em (27) vmax∣vHa∣2(25)s.t.∣vn∣=1,∀n=1,⋯,N,(26)arg(vHa)=ϕ0(27)
这个问题的最优解为 v ∗ = e j ( ϕ 0 − arg ( a ) ) = e j ( ϕ 0 − arg ( diag ( h r H ) G w ˉ ) ) \bm v^*=e^{j(\phi_0-\textnormal{arg}(\bm a))}=e^{j(\phi_0-\textnormal{arg}(\textnormal {diag}(\bm h_r^H)\bm G\bar\bm w))} v∗=ej(ϕ0−arg(a))=ej(ϕ0−arg(diag(hrH)Gwˉ))
因此IRS第n个器件相移为
θ n ∗ = ϕ 0 − arg ( h n , r H g n H w ˉ ) = ϕ 0 − arg ( h n , r H ) − arg ( g n H w ˉ ) , ( 28 ) \theta_n^*=\phi_0-\textnormal{arg}(h_{n,r}^H\bm g_n^H\bar\bm w)=\phi_0-\textnormal{arg}(h_{n,r}^H)-\textnormal{arg}(\bm g_n^H\bar\bm w),\kern2em (28) θn∗=ϕ0−arg(hn,rHgnHwˉ)=ϕ0−arg(hn,rH)−arg(gnHwˉ),(28)
其中 h n , r H h_{n,r}^H hn,rH是 h r H \bm h_r^H hrH的第n列， g n H \bm g_n^H gnH是 G \bm G G的第n行向量。注意到 g n H w ˉ \bm g_n^H\bar\bm w gnHwˉ合并了传输波束赋形和AP-IRS信道，可被视为IRS处第n个反射元件感知的有效通道。因此（28）表明应该调节第n个相移，使得通过AP-IRS和IRS-user链路信号的相位和AP-user直接链路信号的相位一致，从而在user实现信号相干合并。同时还会发现，获得的相位 θ ∗ \theta^* θ∗与 h n , r h_{n,r} hn,r的幅度独立。因此由（P2）最优发射功率为 P ∗ = γ σ 2 ∥ ( h r H Θ G + h d H ) w ˉ ∥ 2 P^*=\dfrac{\gamma\sigma^2}{\|(\bm{h}_r^H\bm\Theta\bm{G}+\bm{h}_d^H)\bar\bm w\|^2} P∗=∥(hrHΘG+hdH)wˉ∥2γσ2，接下来我们对于（28）中给定的 θ \theta θ，对传输波束赋形方向进行优化。由上一节可知，合并信道是由 h r H Θ G + h d H \bm{h}_r^H\bm\Theta\bm{G}+\bm{h}_d^H hrHΘG+hdH得到的，因此MRT是最优解，即 w ˉ ∗ = ( h r H Θ G + h d H ) H ∥ h r H Θ G + h d H ∥ \bar\bm w^*=\dfrac{(\bm{h}_r^H\bm\Theta\bm{G}+\bm{h}_d^H)^H}{\|\bm{h}_r^H\bm\Theta\bm{G}+\bm{h}_d^H\|} wˉ∗=∥hrHΘG+hdH∥(hrHΘG+hdH)H。
上述交替优化方法实际上很有吸引力，因为发射波束形成和相移都是在封闭形式的表达式中获得的，而无需调用SDP求解器。其收敛性由以下两个事实保证。第一，对于每个子问题而言，得到的最优解确保（P2）的目标值在迭代过程中不增加。第二，由于SNR的限制，（P2）的最佳值是有下界的。因此，所提出的算法保证收敛。？

多用户系统

交替优化算法

该算法与单用户情况下类似，但是AP的发射波束形成是通过应用最小均方误差（MMSE）准则来处理多用户干扰，而不是在没有干扰的单用户情况下使用MRT。对于给定的相移 θ \theta θ，从AP到用户 k k k的合并信道为 h k H = h r , k H Θ G + h d , k H \bm h_k^H=\bm h_{r,k}^H\bm\Theta\bm G+\bm h_{d,k}^H hkH=hr,kHΘG+hd,kH，因此问题（P1）简化为
( P 3 ) : min W ∑ k = 1 K ∥ w k ∥ 2 ( 36 ) s . t . ∣ h k H w k ∣ 2 ∑ j ≠ k K ∣ h k H w j ∣ 2 + σ 2 ≥ γ k , ∀ k . ( 37 ) (\textnormal P3):\kern2em\underset{\bm W}\textnormal{min}\displaystyle\sum_{k=1}^{K}\|\bm w_k\|^2\kern2em (36)\\s.t.\kern2em \dfrac{|\bm{h}_k^H\bm{w}_k|^2}{\sum_{j\neq k}^K|\bm{h}_k^H\bm{w}_j|^2+\sigma^2}\ge\gamma_k,\kern2em \forall k.\kern2em (37) (P3):Wmink=1∑K∥wk∥2(36)s.t.∑j=kK∣hkHwj∣2+σ2∣hkHwk∣2≥γk,∀k.(37)
注意到（P3）是多用户MISO下行广播信道的传统功率最小化问题，可以通过二阶锥规划（SOCP）、半正定规划（SDP）或者基于上下行链路对偶的定点迭代算法来进行有效的解决。此外，很容易验证问题（P3）的最优解都满足（37）中的所有SINR约束的等式。
另一方面，对于给定的发射波束赋形 W \bm W W，问题（P1）化简为一个可行性检查问题（feasibility-check problem）。令 h d , k H w j = b k , j \bm h_{d,k}^H\bm w_j=b_{k,j} hd,kHwj=bk,j， v n = e j θ n , n = 1 , ⋯ , N . v_n=e^{j\theta_n},n=1,\cdots,N. vn=ejθn,n=1,⋯,N.通过变量替换 h r , k H Θ G w j = v H a k , j \bm h_{r,k}^H\bm \Theta\bm G\bm w_j=\bm v^H\bm a_{k,j} hr,kHΘGwj=vHak,j其中 v = [ e j θ 1 , ⋯ , e j θ N ] H \bm v=[e^{j\theta_1},\cdots,e^{j\theta_N}]^H v=[ejθ1,⋯,ejθN]H， a k , j = diag ( h r , k H ) G w j \bm a_{k,j}=\textnormal {diag}(\bm h_{r,k}^H)\bm G\bm w_j ak,j=diag(hr,kH)Gwj，问题（P1）可以被化简为
Find v ( 38 ) s . t . ∣ v H a k , k + b k , k ∣ 2 ∑ j ≠ k K ∣ v H a k , j + b k , j ∣ 2 + σ k 2 ≥ γ k , ∀ k , ( 39 ) ∣ v n ∣ = 1 , n = 1 , ⋯ , N . ( 40 ) \textnormal {Find}\kern1em \bm v\kern2em (38)\\s.t.\kern2em \dfrac{|\bm v^H\bm a_{k,k}+b_{k,k}|^2}{\sum_{j\neq k}^K|\bm v^H\bm a_{k,j}+b_{k,j}|^2+\sigma_k^2}\geq\gamma_k,\kern2em\forall k,\kern2em (39)\\|v_n|=1,n=1,\cdots,N.\kern2em (40) Findv(38)s.t.∑j=kK∣vHak,j+bk,j∣2+σk2∣vHak,k+bk,k∣2≥γk,∀k,(39)∣vn∣=1,n=1,⋯,N.(40)
上述问题类似于多天线中继广播信道的中继波束赋形优化问题，由于公共向量 v \bm v v的相位旋转不能使对于所有用户（39）中的 v H a k , k + b k , k \bm v^H\bm a_{k,k}+b_{k,k} vHak,k+bk,k变为实数，因此它不能直接转化为SOCP优化问题，同时（40）也是非凸单位模数约束。然而通过观察约束（39）（40）可以转化为二次约束，我们可以应用SDR技术来求得问题（38）的近似解。
通过引入辅助变量 t t t ，（38）可以等效为
Find v ( 41 ) s . t . v ˉ H R k , k v ˉ + ∣ b k , k ∣ 2 ≥ γ k ∑ j ≠ k K v ˉ H R k , j v ˉ + γ k ( ∑ j ≠ k K ∣ b k , j ∣ 2 + σ k 2 ) , ∀ k , ( 42 ) ∣ v n ∣ 2 = 1 , n = 1 , ⋯ , N + 1 , ( 43 ) \textnormal {Find}\kern1em \bm v\kern2em (41)\\s.t.\kern2em\bar\bm v^H\bm R_{k,k}\bar\bm v+|b_{k,k}|^2\geq\gamma_k\displaystyle\sum_{j\neq k}^K\bar\bm v^H\bm R_{k,j}\bar\bm v+\gamma_k(\displaystyle\sum_{j\neq k}^K|b_{k,j}|^2+\sigma_k^2),\kern2em \forall k,\kern2em (42)\\|v_n|^2=1,\kern2em n=1,\cdots,N+1,\kern2em (43) Findv(41)s.t.vˉHRk,kvˉ+∣bk,k∣2≥γkj=k∑KvˉHRk,jvˉ+γk(j=k∑K∣bk,j∣2+σk2),∀k,(42)∣vn∣2=1,n=1,⋯,N+1,(43)
其中
R k , j = [ a k , j a k , j H a k , j b k , j H a k , j H b k , j 0 ] , v ˉ = [ v t ] . \bm R_{k,j}=\begin{bmatrix} {\bm a_{k,j}\bm a_{k,j}^H}&{\bm a_{k,j}\bm b_{k,j}^H}\\{\bm a_{k,j}^H\bm b_{k,j}}&{0} \end{bmatrix},\kern2em \bar\bm v=\begin{bmatrix} {\bm v}\\{t} \end{bmatrix}. Rk,j=[ak,jak,jHak,jHbk,jak,jbk,jH0],vˉ=[vt].
注意到 v ˉ H R k , j v ˉ = tr ( R k , j v ˉ v ˉ H ) \bar\bm v^H\bm R_{k,j}\bar\bm v=\textnormal {tr}(\bm R_{k,j}\bar\bm v\bar\bm v^H) vˉHRk,jvˉ=tr(Rk,jvˉvˉH)，定义 V = v ˉ v ˉ H \bm V=\bar\bm v\bar\bm v^H V=vˉvˉH，需要满足 V ⪰ 0 \bm V\succeq\bm 0 V⪰0和 rank ( V ) = 1. \textnormal{rank}(\bm V)=1. rank(V)=1.由于rank1约束是非凸的，我们将这个约束进行松弛，问题（41)可以转化为
(P4): Find V ( 44 ) s . t . tr ( R k , k V ) + ∣ b k , k ∣ 2 ≥ γ k ∑ j ≠ k K tr ( R k , j V ) + γ k ( ∑ j ≠ k K ∣ b k , j ∣ 2 + σ k 2 ) , ∀ k , ( 45 ) V n , n = 1 , n = 1 , ⋯ , N + 1 , ( 46 ) V ⪰ 0. ( 47 ) \textnormal {(P4):}\kern2em \textnormal {Find}\kern1em \bm V\kern2em (44)\\s.t.\kern2em\textnormal {tr}(\bm R_{k,k}\bm V)+|b_{k,k}|^2\geq\gamma_k\displaystyle\sum_{j\neq k}^K\textnormal {tr}(\bm R_{k,j}\bm V)+\gamma_k(\displaystyle\sum_{j\neq k}^K|b_{k,j}|^2+\sigma_k^2),\kern2em \forall k,\kern2em (45)\\\bm V_{n,n}=1,\kern2em n=1,\cdots,N+1,\kern2em (46)\\\bm V\succeq0.\kern2em (47) (P4):FindV(44)s.t.tr(Rk,kV)+∣bk,k∣2≥γkj=k∑Ktr(Rk,jV)+γk(j=k∑K∣bk,j∣2+σk2),∀k,(45)Vn,n=1,n=1,⋯,N+1,(46)V⪰0.(47)
不难看出问题（P4）是一个SDP，并且可以通过例如CVX等现有凸优化求解器进行优化求解。

算法1 交替优化算法
1.初始化相移 θ = θ 1 \bm \theta=\bm\theta^1 θ=θ1并且设置迭代数字 r = 1. r=1. r=1.
2,重复
3.对于给定的 θ r \bm\theta^r θr,求解问题（P3），并且将最优解表示为 W r . \bm W^r. Wr.
4.对于给定给定 W r \bm W^r Wr，求解问题（P4），并且将执行高斯随机化之后的解表示为 θ r + 1 . \bm\theta^{r+1}. θr+1.
5.更新 r = r + 1. r=r+1. r=r+1.
6.直到目标值的分数下降低于阈值 ϵ > 0 \epsilon>0 ϵ>0，或问题（P4）变为不可行

在所提出的交替优化算法中，我们通过迭代的方法交替解决问题（P3）和（P4），每次迭代得到的解被用作下一次迭代的初始点。特别的，算法起始于通过给定的 θ \bm\theta θ解决问题（P3）而不是通过给定的 W \bm W W求解（P4）。这是经过精心设计的，假如 rank ( G H Θ H r + H d ) = K \textnormal {rank}(\bm G^H\bm\Theta\bm H_r+\bm H_d)=K rank(GHΘHr+Hd)=K,对于任意 θ \bm\theta θ,（P3）都是可行的，但是对于任意 W \bm W W，（P4）不一定可行。另一方面，由于求解（P4）只能得到一个可行解，因此在算法1中，（P3）的目标值是否会在迭代过程中单调减小仍然是未知的。
证明略

两阶段算法（Two-Stage Algorithm）

提出了一个低复杂度的两阶段算法，将（P1）的联合波束赋形设计问题解耦成两个波束赋形子问题，分别为优化相移和优化波束赋形。第一阶段通过解决一个加权有效信道最大化增益问题来优化IRS的相移。目的在于将不同的用户信道的相位进行对齐，从而最大化IRS波束赋形增益，尤其是针对于靠近IRS的用户。第二阶段通过解决问题（P3）来获得给定相移 θ \bm\theta θ下基于MMSE的发射波束赋形。
令 v = [ e j θ 1 , ⋯ , e j θ N ] H ∈ C N × 1 \bm v=[e^{j\theta_1},\cdots,e^{j\theta_N}]^H\isin\mathbb C^{N\times 1} v=[ejθ1,⋯,ejθN]H∈CN×1， Φ k = diag ( h r , k H ) G ∈ C N × M , ∀ k . \bm\Phi_k=\textnormal {diag}(\bm h_{r,k}^H)\bm G\isin\mathbb C^{N\times M},\forall k. Φk=diag(hr,kH)G∈CN×M,∀k.所有用户的加权合并信道增益为
∑ k = 1 K t k ∥ h r , k H Θ G + h d , k H ∥ 2 = ∑ k = 1 K t k ∥ v H diag ( h r , k H ) G + h d , k H ∥ 2 = ∑ k = 1 K t k ∥ v H Φ k + h d , k H ∥ 2 , ( 52 ) \displaystyle\sum_{k=1}^Kt_k\|\bm{h}_{r,k}^H\bm\Theta\bm{G}+\bm{h}_{d,k}^H\|^2=\displaystyle\sum_{k=1}^Kt_k\|\bm v^H\textnormal{diag}(\bm h_{r,k}^H)\bm G+\bm{h}_{d,k}^H\|^2=\displaystyle\sum_{k=1}^Kt_k\|\bm v^H\bm\Phi_k+\bm{h}_{d,k}^H\|^2,\kern2em (52) k=1∑Ktk∥hr,kHΘG+hd,kH∥2=k=1∑Ktk∥vHdiag(hr,kH)G+hd,kH∥2=k=1∑Ktk∥vHΦk+hd,kH∥2,(52)
我们设置权重为 t k = 1 γ k σ k 2 , k = 1 , ⋯ , K , t_k=\dfrac{1}{\gamma_k\sigma_k^2},k=1,\cdots,K, tk=γkσk21,k=1,⋯,K,基于（52），可以通过解决下列问题来求解相移
(P5): max v ∑ k = 1 K t k ∥ v H Φ k + h d , k H ∥ 2 ( 53 ) s . t . ∣ v n ∣ = 1 , n = 1 , ⋯ , N . ( 54 ) \textnormal{(P5):}\kern2em\underset{\bm v}\textnormal{max}\displaystyle\sum_{k=1}^Kt_k\|\bm v^H\bm\Phi_k+\bm{h}_{d,k}^H\|^2\kern2em (53)\\s.t.\kern2em |v_n|=1,\kern2em n=1,\cdots,N.\kern2em (54) (P5):vmaxk=1∑Ktk∥vHΦk+hd,kH∥2(53)s.t.∣vn∣=1,n=1,⋯,N.(54)
注意到当 K = 1 K=1 K=1时，（P5）等效于单用户情况下的问题（13）。然而在多用户情况下，由于对具有不同信道的所有用户应用相同的相移集，不同用户的组合信道功率增益通常不能在同一时间最大化，因此需要平衡以获得最佳解（P5）。尽管如此，由于问题（P5）是非凸QCQP，它可以类似地重新表述为齐次QCQP，然后通过应用SDR和高斯随机化技术来解决。利用从（P5）获得的相移，通过求解（P3）可以获得基于MMSE的发射波束成形。相较于交替优化算法，两阶段算法有着更低的计算复杂度，（P5）和（P3）分别只需要被求解一次，但是性能可能会遭受损失。

下一步思考

QCQP
rank1约束
SDR
SOCP
Gaussian randomization techniques

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