笔试面试题目：1000的阶乘问题

大数阶乘问题，是很常见的，来看一下T公司的面试题目：

问题一：

1000的阶乘末尾有多少个0？

问题二：

1000的阶乘有多少位数？

问题三：

1000的阶乘的值是多少？

1000的阶乘末尾有多少个0？

直接递归计算吗？有点天真了。1000的阶乘，是一个非常大的数字，得想其它办法了。注意：要求的是1000的阶乘末尾的0的个数，而不是求1000的阶乘。

很显然，从分解质因数的过程来看，结尾的0必然是2和5的乘积，而且在阶乘中，5是稀缺值，而2是富余值，所以，只需要知道质因数中5的个数就行了。我们以26的阶乘为例：

26!
= 1 * 2 * 3 * 4 * 5 * 6 * 7 * 8 * 9 * 10 * 11 * ... * 25 * 26
= 1 * 2 * 3 * 2*2 * 5 * 2*3 * 7 * 2*2*2 * 9 * 2*5 * 11 * ...3*5 * ... * 4*5 * ... * 5*5 * 2*13

可见：其中有6个5，有充足的2，所以只需要看5的个数。易知，26的阶乘的末尾有6个0. 用阶乘计算器来看下，果然如此：

我们来讨论更一般的情况：

设f(x)是x中因数5的个数, [x]为x向下取整的值，则有：

f(n!)
= f(1 * 2 * 3 * 4 * 5 * 6 * ... * n)
= f(1 * 2 * 3 * 4 * 5 * 6 * ... * ([n/5]*5))
= f(5 * 10 * ... * ([n/5]*5))
= f(5*1 * 5*2 * ... * ([n/5]*5))
= f(5^[n/5] * 1 * 2 * ... * [n/5])
= [n/5] + f(1 * 2 * ... * [n/5])
= [n/5] + [n/25] + f(1 * 2 * ... * [n/25])
= [n/5] + [n/25] + [n/125] + f(1 * 2 * ... * [n/125])
= [n/5] + [n/25] + [n/125] + [n/625] + ... + 0

所以：

f(1000!)
= [1000/5] + [1000/25] + [1000/125] + [1000/625] + [1000/3125]
= 200 + 40 + 8 + 1 + 0
= 249

至于程序，给个递归版本吧：

package mainimport ("fmt"
)func getNum(i int) int {if i < 5 {return 0}return i/5 + getNum(i/5)
}func main() {fmt.Println(getNum(1000))
}

结果：249. 可见，1000的阶乘末尾有249个0.

1000的阶乘有多少位数？

直接递归计算吗？有点天真了。我们来看下如下规律：

lg99 = 1.a
lg100 = 2
lg101 = 2.blg999 = 2.c
lg1000 = 3
lg1001 = 3.d

设f(x)为x的数位个数，[x]为x向下取整的值，则有：

f(x)
= [lg(x)] + 1f(n!)
= f(1 * 2 * 3 * ... * n)
= [lg(1 * 2 * 3 * ... * n)] + 1
= [lg1 + lg2 + lg3 + ... + lg(n)] + 1

至于程序，那就很简单了：

package mainimport ("fmt""math"
)func main() {f := float64(0)for i := 1; i <= 1000; i++ {f = f + math.Log10(float64(i))}n := int(f) + 1fmt.Println(n)
}

结果：2568. 可见，1000的阶乘有2568位。

1000的阶乘的值是多少？

直接递归计算吗？有点天真了。还是用字符串来做吧：

#include <iostream>
#include <cstring>
#include <cstdio>
using namespace std;int multi(char a, char b)
{return (a - '0') * (b - '0');
}void strMulti(char *a, char *b, char *c)
{int lenA = strlen(a);int lenB = strlen(b);int maxLen = lenA + lenB;int *p = new int[maxLen];memset(p, 0, maxLen * sizeof(int)); int i = 0;int j = 0;for(j = lenB - 1; j >= 0; j--){for(i = lenA - 1; i >= 0; i--){p[j + i + 1] += multi(b[j], a[i]);}}// 处理进位操作for(i = maxLen - 1; i >= 1; i--){p[i - 1] += p[i] / 10;p[i] = p[i] % 10;}int *s = p;// m位正整数和n位正整数相乘，结果的位数必然是(m+n-1)位或者(m+n)位if(0 == p[0]){p++;}int *pTmp = NULL;for(pTmp = p; pTmp < s + maxLen; pTmp++){*c++ = *pTmp + '0';}*c = '\0';delete s;
}void factorial(int n, char *str)
{int i = 0;*str = '1';*(str + 1) = '\0';char b[5000] = {0};for(i = 1; i <= n; i++){snprintf(b, sizeof(b), "%d", i);strMulti(str, b, str);}
}int main()
{char str[5000] = {0};factorial(1000, str); cout << str << endl << endl;return 0;
}

结果是：

可以看到，1000的阶乘有2568位，且最后有249个0.

关于1000的阶乘，就说到这里了。遇到问题，要灵活应变，从具体到抽象，抓住本质。