题目

https://codeforces.com/gym/102501/problem/J

大意就是，规定一棵二叉树，每个节点的值都大于等于其父节点的值。给出一个中序遍历值序列，问有多少棵这样的树满足其中序遍历是这个。
节点数范围 1e6，节点值范围 1e6。

思路

中序遍历，满足一棵子树映射到序列中一段区间。
对于一个区间，若它代表一个子树，那么该子树的根就是区间内最小的值。
若区间内有多个最小的值，那这些位置应该组成一个包含子树根的连通块，这些点分割出来的区间，分别代表下面的一棵子树。连通块有多种可能，不过一旦确定出这个连通块形态（即这几个点组成的树的形态），那么分割出的几棵子树位置就确定了。
也就是说，变成了一个递归问题。对于子树 [L, R]，取出其中最小的值，假设是 x[1], x[2], ..., x[k] ，那么答案就是递归求出分出来的 k+1 个区间的答案之积，再乘上满足中序遍历是 1, 2, …, k 的二叉树个数。
乘上的这个数，其实就是卡特兰数 Cat[k]。考虑一棵二叉树的中序遍历其实对应出一种出入栈序列。
卡特兰数可以看这个博客 https://blog.csdn.net/chenlong_cxy/article/details/113613203

代码

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;#define Ha 1000000007
#define MAXN 1000005
long long Cat[MAXN];
int n;
int a[MAXN];
int ST[MAXN][25];
vector<int> pos[MAXN];long long ksm(long long x, int k)
{long long ret=1;for (; k; k>>=1, x=x*x%Ha)if (k&1) ret = ret*x%Ha;return ret;
}int getMin(int L, int R)
{int k = R-L+1;int ret=a[L];int cur = L;for (int i=0; i<=20; i++) {if (k&(1<<i)) {ret = min(ret, ST[cur][i]);cur+=(1<<i);}}return ret;
}long long dfs(int L, int R)
{if (L>=R) return 1;int mn = getMin(L, R);long long ret=1, cnt=0;int lst=L, cur;auto pl = lower_bound(pos[mn].begin(), pos[mn].end(), L);while (pl!=pos[mn].end() && *pl<=R) {cnt++;cur = *pl;ret = ret * dfs(lst, cur-1) %Ha;lst = cur+1;pl++;}ret = ret * dfs(lst, R) %Ha;ret = ret * Cat[cnt] %Ha;return ret;
}void solve()
{scanf("%d", &n);Cat[0] = 1;for (int i=0; i<n; i++) Cat[i+1] = Cat[i]*(i*4+2)%Ha *ksm(i+2, Ha-2) %Ha;for (int i=1; i<=n; i++) {scanf("%d", &a[i]);ST[i][0] = a[i];pos[a[i]].push_back(i);}for (int j=1,jj=1; j<=20; j++,jj<<=1)for (int i=1; i+jj<=n; i++)ST[i][j] = min(ST[i][j-1], ST[i+jj][j-1]);long long ans = dfs(1, n);ans = (ans+Ha)%Ha;printf("%lld\n", ans);
}int main()
{solve();return 0;
}

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