题目描述

小渊和小轩是好朋友也是同班同学，他们在一起总有谈不完的话题。一次素质拓展活动中，班上同学安排做成一个m行n列的矩阵，而小渊和小轩被安排在矩阵对角线的两端，因此，他们就无法直接交谈了。幸运的是，他们可以通过传纸条来进行交流。纸条要经由许多同学传到对方手里，小渊坐在矩阵的左上角，坐标(1,1)，小轩坐在矩阵的右下角，坐标(m,n)。从小渊传到小轩的纸条只可以向下或者向右传递，从小轩传给小渊的纸条只可以向上或者向左传递。
在活动进行中，小渊希望给小轩传递一张纸条，同时希望小轩给他回复。班里每个同学都可以帮他们传递，但只会帮他们一次，也就是说如果此人在小渊递给小轩纸条的时候帮忙，那么在小轩递给小渊的时候就不会再帮忙。反之亦然。
还有一件事情需要注意，全班每个同学愿意帮忙的好感度有高有低（注意：小渊和小轩的好心程度没有定义，输入时用0表示），可以用一个0-100的自然数来表示，数越大表示越好心。小渊和小轩希望尽可能找好心程度高的同学来帮忙传纸条，即找到来回两条传递路径，使得这两条路径上同学的好心程度只和最大。现在，请你帮助小渊和小轩找到这样的两条路径。

数据规模和约定
　　30%的数据满足：1<=m,n<=10
　　100%的数据满足：1<=m,n<=50
输入描述
输入的第一行有2个用空格隔开的整数m和n，表示班里有m行n（1<=m,n<=50）
接下来的m行是一个m*n的矩阵，矩阵中第i行j列的整数表示坐在第i行j列的学生的好心程度。每行的n个整数之间用空格隔开。
输出描述
输出共一行，包含一个整数，表示来回两条路上参与传递纸条的学生的好心程度之和的最大值。
样例输入

3 3
0 3 9
2 8 5
5 7 0

样例输出

34

解题思路

题目分析
在矩阵中找到两条不重复的从(1,1)到(m,n)路径，使得路径权值之和最大，且只可以向下或者向右移动。
单条路径dp方程

d p [ i ] [ j ] = m a x ( d p [ i − 1 ] [ j ] , d p [ i ] [ j − 1 ] ) + a r r [ i ] [ j ] ; dp[i][j] = max(dp[i-1][j], dp[i][j-1])+arr[i][j]; dp[i][j]=max(dp[i−1][j],dp[i][j−1])+arr[i][j];

两条路径dp方程
d p [ i ] [ j ] [ x ] [ y ] dp[i][j][x][y] dp[i][j][x][y]表示两条路径从起点到(i,j)和(x,y)的最大路径权值之和

d p [ i ] [ j ] [ x ] [ y ] = a r r [ i ] [ j ] + m a x ( d p [ i − 1 ] [ j ] [ x − 1 ] [ y ] , m a x ( d p [ i − 1 ] [ j ] [ x ] [ y − 1 ] , m a x ( d p [ i ] [ j − 1 ] [ x ] [ y − 1 ] , d p [ i ] [ j − 1 ] [ x − 1 ] [ y ] ) ) ) ; dp[i][j][x][y] = arr[i][j] + max(dp[i - 1][j][x - 1][y], max(dp[i - 1][j][x][y - 1], max(dp[i][j - 1][x][y - 1], dp[i][j - 1][x - 1][y]))); dp[i][j][x][y]=arr[i][j]+max(dp[i−1][j][x−1][y],max(dp[i−1][j][x][y−1],max(dp[i][j−1][x][y−1],dp[i][j−1][x−1][y])));
i f ( i ! = x ∣ ∣ j ! = y ) d p [ i ] [ j ] [ x ] [ y ] + = a r r [ x ] [ y ] ; if (i != x || j != y) \\ dp[i][j][x][y] += arr[x][y]; if(i!=x∣∣j!=y)dp[i][j][x][y]+=arr[x][y];

取dp[i - 1][j][x - 1][y]、dp[i - 1][j][x][y - 1]、dp[i][j - 1][x][y - 1]、 dp[i][j - 1][x - 1][y]中的最大值加上arr[i][j]，若(i,j)和(x,y)不重复，则加上arr[x][y]。
特别考虑当两条路径在同一个点相遇时（i=x且j=y），为不合法路径，arr值只能加一次，且保证了不合法路径的转移状态dp[i][j][x][y]不会被后续max取到

C++代码

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int main() {int m, n;cin >> m >> n;vector<vector<int>>arr(m+1, vector<int>(n+1));for (int i = 1; i < m+1; i++){for (int j = 1; j < n+1; j++){cin >> arr[i][j];}}vector<vector<vector<vector<int>>>>dp(m + 1, vector<vector<vector<int>>>(n + 1, vector< vector<int>>(m + 1, vector<int>(n + 1, 0))));for (int i = 1; i <= m; i++){for (int j = 1; j <= n; j++){for (int x = 1; x <= m; x++){for (int y = 1; y <= n; y++){dp[i][j][x][y] = arr[i][j] + max(dp[i - 1][j][x - 1][y], max(dp[i - 1][j][x][y - 1], max(dp[i][j - 1][x][y - 1], dp[i][j - 1][x - 1][y])));if (i != x || j != y)dp[i][j][x][y] += arr[x][y];}}}}cout << dp[m][n][m][n];return 0;
}
}

算法分析

时间复杂度： O ( n 2 m 2 ) O(n^2m^2) O(n2m2)

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两条不重复的最大路径

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