奇异矩阵，非奇异矩阵，矩阵的逆和伪逆

奇异矩阵/非奇异矩阵

首先看矩阵是不是方阵，只有是方阵了，才有这两个概念。
方阵A的行列式等于零，记为|A|=0,A是奇异矩阵
方阵A的行列式不等于零，记为|A|~=0,A是非奇异矩阵
一些性质：
如果A(n×n)为奇异矩阵（singular matrix）<=> A的秩Rank(A) \lt n
如果A(n×n)为非奇异矩阵（nonsingular matrix）<=> A满秩，Rank(A)=n
一个方阵非奇异当且仅当它的行列式不为零。
一个方阵非奇异当且仅当它代表的线性变换是个自同构。
一个矩阵半正定当且仅当它的每个特征值大于或等于零。
一个矩阵正定当且仅当它的每个特征值都大于零。

矩阵的逆和伪逆
对于矩阵A，如果存在一个矩阵B，使得AB=BA=E，其中E为与A,B同维数的单位阵，就称A为可逆矩阵（或者称A可逆），并称B是A的逆矩阵，简称逆阵。（此时的逆称为凯利逆）
矩阵A可逆的充分必要条件是|A|≠0( 即：A是非奇异矩阵）

奇异矩阵和非方阵没有逆矩阵，但可以有伪逆矩阵。
在matlab中，用pinv函数求伪逆。函数返回一个与A的转置矩阵A’ 同型的矩阵X，并且满足：AXA=A,XAX=X.此时，称矩阵X为矩阵A的伪逆，也称为广义逆矩阵。
如果A列满秩，那么pinv(A)=(A^T\starA)^-1*A^T。

如果A行满秩，那么pinv(A)=pinv(A^T)^T。

如果秩亏损，那么只好先做奇异值分解A=UDV^T，U,V是正交阵，D是对角阵。

然后取对角阵S，如果D(i,i)=0，那么S(i,i)=0，如果D(i,i)<>0，那么S(i,i)=1/D(i,i)。于是pinv(A)=VSU^T

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