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柱爷把妹（吃惊高清重制版）

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某日，喵蛤蛤村，天行廖大师走在咸鱼路上，突然，迎面走来一女子

有言到：

北方有佳人，绝世而独立。

一顾倾人城，再顾倾人国。

闭月羞花怨，沉鱼落雁愁。

貂婵拜月闭冰盘，佳丽忧民叹国残。

回眸一笑百魅生，六宫粉黛无颜色。

解释春风无限恨，沈香亭北倚阑干。

绝代有佳人，幽居在空谷。

君王数载犹尝胆，美色几时能救国?

俊眉修眼，顾盼神飞，文彩精华，见之忘俗。

脸若银盘，眼似水杏，唇不点而红，眉不画而翠。

手如柔荑，肤如凝脂，领如蝤蛴，齿如瓠犀，螓首蛾眉，巧笑倩兮，美目眇兮

咸鱼廖大师的目光已经呆滞，而更让他吃惊的是她的旁边居然是柱爷！

说好的一起单身，柱爷却悄悄的脱了单

当然，把妹柱把妹是需要资金的！，而股市正好是柱爷资金的主要来源地

这是因为柱爷有自己独特的黑科技技巧

柱爷通过交易知道了接下来N天的股市行情，每天的买入/卖出价格为Pi，每天柱爷只能做最多一种操作，当然柱爷也可以什么都不做。

对于每个操作，有一个手续费F，对于买入操作，会在买入操作之前扣除F块钱，而对于卖出操作，则会在柱爷卖出操作执行完后扣除F的手续费.

注意，柱爷初始时有M块钱的本金，柱爷需要保证在任意时刻自己的现金 ≥0

现在请问柱爷在N天后最多能有多少钱?

Input

第一行三个整数N,M，F，分别表示一共有N天，本金为M，手续费为F

接下来N行，每行一个整数Pi，代表第i天的交易价格

数据保证:

1≤N≤105
1≤M≤105
1≤F≤105
1≤Pi≤2∗105
答案≤2∗1018

Output

输出仅一行，表示柱爷 N N天后能拥有的最多现金

Sample input and output

Sample Input	Sample Output
3 10000 1 4000 4004 4002	10006
3 10000 100000 4000 4004 4002	10000

Hint

对于样例 1 1，柱爷会在第一天买入 2 2股，在第 2 2天卖出 2 2股最优

这样柱爷能赚最多的钱（就能更好的把妹了）

最近在做动规的专题练习，就做到了这道题。此题很容易想到O(n^2的算法，定义dp[i]为第i天，已经做出决策的最大收益，状态转移方程为dp[i] = max(dp[i-1],(dp[k] - F) / p[k + 1] * p[i] + (dp[k] - F) % p[k] - F)，但对于题中数据范围，这显然无能为力。然而股票市场波动不定，价格并无单调性，此方程也无法用斜率优化，我们就要另寻出路。

首先此题数据为1e5，显然可以用O(nlogn) 或 O(n) 过O(nlongn)的做法为cdq分治（然并不会）。O(n)的做法为动规。首先，如果没有手续费，那么此题就是比较接近理想收入问题。如果存在a < b < c , p[a] < p[b] < p[c],那么我们可以得到a->b, b->c 等价于a -> c。（证明很显然）。现在有F，怎么办，加了以后再减就好。这样我们就可以实现O(1)的转移。先用O(n)进行预处理，再进行O(n)的dp。

见了代码就比较清晰思路。

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;const int Maxn = 100010;
typedef long long LL;
int p[Maxn], nxt[Maxn], Stack[Maxn];
LL dp[Maxn][2];void SelfMax(LL &a, const LL &b) { if (a < b) a = b; }int main() {int N, M, F;scanf("%d%d%d", &N, &M, &F);for (int i = 1; i <= N; ++i) scanf("%d", p + i);int top = 0; Stack[top] = N;for (int i = N; i; --i) {while (top && p[i] >= p[Stack[top]]) --top;if (top) nxt[i] = Stack[top];else nxt[i] = i;Stack[++top] = i;}memset(dp, 128, sizeof dp);dp[1][0] = M;  LL tmp, ans = 0;for (int i = 1; i <= N; ++i) {SelfMax(ans, dp[i][0]); SelfMax(ans, dp[i][1]);SelfMax(dp[i + 1][0], max(dp[i][0], dp[i][1]));SelfMax(dp[nxt[i]][0], max(dp[i][0], dp[i][1]));tmp = dp[i][0] - F; if (tmp > 0 && nxt[i] > i) SelfMax(dp[nxt[i]][1], tmp / p[i] * p[nxt[i]] + tmp % p[i] - F);tmp = dp[i][1] + F;if (tmp > 0 && nxt[i] > i) SelfMax(dp[nxt[i]][1], tmp / p[i] * p[nxt[i]] + tmp % p[i] - F);}cout << ans << endl;return 0;
}

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