正定Hermiltian矩阵分解的两种方法

对于正定Hermiltian矩阵BBB，想要求解DDD，使其满足
B=D2,(1)B=D^2\ ,\tag{1} B=D2 ,(1)
通常而言，所得的DDD是不唯一的。可以分别通过特征值矩阵、特征向量矩阵求解得到一个对称矩阵，而通过Cholesky分解求解可以得到一个下三角矩阵。

通过特征值矩阵和特征向量矩阵求解

对于正定Hermiltian矩阵，其为对称矩阵，通过特征值矩阵AAA和特征向量矩阵PPP求解所得的矩阵DDD也是对称矩阵。其基本思路是先求解出对称矩阵BBB对应的特征值矩阵AAA和特征向量矩阵PPP，将特征值矩阵求根得到矩阵CCC，然后将特征向量矩阵PPP作用到CCC上得到分解后的矩阵DDD。

通过求解矩阵BBB的特征值和特征向量，得到特征值矩阵AAA和特征值矩阵PPP，满足
B=PTAP,(2)B=P^TAP\ ,\tag{2} B=PTAP ,(2)
其中
A=[λ1000λ2000λ3],(3)A=\begin{bmatrix} \lambda_{1} &0 &0\\ 0 &\lambda_{2} &0\\ 0 &0 &\lambda_{3} \end{bmatrix}\ ,\tag{3} A=⎣⎡λ1000λ2000λ3⎦⎤ ,(3)
λ1,λ2,λ3\lambda_{1},\ \lambda_{2},\ \lambda_{3}λ1, λ2, λ3为特征值，PPP为对应的特征向量矩阵。令
C=[λ1000λ2000λ3],(4)C= \begin{bmatrix} \sqrt{\lambda_{1}} &0 &0\\ 0 &\sqrt{\lambda_{2}} &0\\ 0 &0 &\sqrt{\lambda_{3}} \end{bmatrix}\ ,\tag{4} C=⎣⎡λ1000λ2000λ3⎦⎤ ,(4)
则有
B=PTC2P=PTCPPTCP=D2,(5)\begin{aligned} B&=P^TC^2P\\ &=P^TCPP^TCP\\ &=D^2 \end{aligned}\ ,\tag{5} B=PTC2P=PTCPPTCP=D2 ,(5)
因此，我们得到分解后的对称矩阵DDD满足
D=PTCP,(6)D=P^TCP\ ,\tag{6} D=PTCP ,(6)

Matlab程序例子

将正定Hermiltian矩阵
B=[2515−515184−5411],(7)B=\begin{bmatrix} 25 &15 &-5\\ 15 &18 &4\\ -5 &4 &11 \end{bmatrix}\ ,\tag{7} B=⎣⎡2515−515184−5411⎦⎤ ,(7)
分解。

B=[25 15 -5;15 18 4;-5 4 11];
[P,A]=eig(B);
C=sqrt(A);
D=P*C*P';
D*D

可以验证BBB与D∗DD*DD∗D相等。

通过Cholesky分解求解

对于Cholesky分解，可以参见3阶Hermitian正定矩阵Cholesky分解通用表达式

因此对于BBB，对应的下三角矩阵DDD的各个元素满足

D11=B11D21=B21D11D22=B22−D212D31=B31D11D32=B32−D21D31D22D33=B33−D312−D322(8)\begin{aligned} D_{11}&=\sqrt{B_{11}}\\ D_{21}&=\frac{B_{21}}{D_{11}}\\ D_{22}&=\sqrt{B_{22}-D_{21}^2}\\ D_{31}&=\frac{B_{31}}{D_{11}}\\ D_{32}&=\frac{B_{32}-D_{21}D_{31}}{D_{22}}\\ D_{33}&=\sqrt{B_{33}-D_{31}^2-D_{32}^2} \end{aligned}\tag{8} D11D21D22D31D32D33=B11=D11B21=B22−D212=D11B31=D22B32−D21D31=B33−D312−D322(8)

Matlab程序例子

将正定Hermiltian矩阵
B=[2515−515184−5411],(9)B=\begin{bmatrix} 25 &15 &-5\\ 15 &18 &4\\ -5 &4 &11 \end{bmatrix}\ ,\tag{9} B=⎣⎡2515−515184−5411⎦⎤ ,(9)
分解。

B=[25 15 -5;15 18 4;-5 4 11];
D=zeros(3,3);
D(1,1)=sqrt(B(1,1));D(2,1)=B(2,1)/D(1,1);D(2,2)=sqrt(B(2,2)-D(2,1)^2);
D(3,1)=B(3,1)/D(1,1);D(3,2)=(B(3,2)-D(2,1)*D(3,1))/D(2,2);
D(3,3)=sqrt(B(3,3)-D(3,1)^2-D(3,2)^2);
D*D

可以验证BBB与D∗DD*DD∗D相等。

matlab也可以直接求解Cholesky分解，得到的是一个上三角矩阵

D=chol(B);
D*D

可以验证BBB与D∗DD*DD∗D相等。