本篇介绍stats包中三个与数学规划相关的函数，分别如下：

• optimize：解决非限制的单变量数学规划问题；

• optim：解决非限制的多变量数学规划问题；

• constrOptim：解决限制性的线性规划问题。

1 optimize()函数

该函数的语法结构如下：

optimize(f, interval, ...,lower = min(interval),upper = max(interval),maximum = FALSE,tol = .Machine$double.eps^0.25)

• f：目标函数；其中第一个参数为优化参数；

• interval：变量的取值区间；

• ...：目标函数f的其他参数；

• lower、upper：取值区间的下限和上限；

• maximum：优化方向；逻辑变量，TRUE表示求最大值，FALSE表示求最小值（默认项）；

• tol：误差允许范围。

例如，对于函数，其中。

• （1），求的最小值

fun1 = function(x,a) (x-a)^2
optimize(fun1, interval = c(-1,1),a = -2)## $minimum
## [1] -0.999959
##
## $objective
## [1] 1.000082

• 优化结果表明：当取-0.999959时，目标函数取得最小值1.000082（存在误差）。

• （2） ，求的最大值

optimize(fun1, c(-1,1),a = 0.7,maximum = T)## $maximum
## [1] -0.999959
##
## $objective
## [1] 2.889861

2 optim()函数

该函数的语法结构如下：

optim(par, fn, gr = NULL, ...,method = c("Nelder-Mead", "BFGS", "CG","L-BFGS-B", "SANN", "Brent"),lower = -Inf, upper = Inf,control = list(), hessian = FALSE)

• par：优化参数的初始值；

• fn：目标函数，其中第一个参数为优化参数，一般为向量形式；

• optim()函数默认求最小值，若要求最大值，需将control参数的元素fnscale定义为负数。

例如，，其中、为优化参数，为已知参数。在定义目标函数时，可以使用c(x,y)作为目标函数的第一个参数。

fun2 = function(x0,a) {x = x0[1]; y = x0[2](x^2 - y)^2 + (x - a)^2
}

• （1）当时，求函数的最小值

optim(c(0.5,0.5), fn = fun2,a = 1)## $par
## [1] 0.9999655 1.0000206
##
## $value
## [1] 9.223486e-09
##
## $counts
## function gradient
##       65       NA
##
## $convergence
## [1] 0
##
## $message
## NULL

• （2）当时，求函数在，内的最大值

optim(c(0.5,0.5), fn = fun2,lower = c(-0.5, 0.2), upper = 0.5,a = 1, control = list(fnscale = -1))## $par
## [1] -0.5  0.5
##
## $value
## [1] 2.3125
##
## $counts
## function gradient
##        2        2
##
## $convergence
## [1] 0
##
## $message
## [1] "CONVERGENCE: NORM OF PROJECTED GRADIENT <= PGTOL"

3 constrOptim()函数

该函数的语法结构如下：

constrOptim(theta, f, grad,ui, ci, mu = 1e-04,control = list(),method = if(is.null(grad)) "Nelder-Mead" else "BFGS",outer.iterations = 100,outer.eps = 1e-05, ...,hessian = FALSE)

• theta：优化参数的起始值；

• f：目标函数；

• ui、ci：限制条件；见案例。

例如，有如下线性规划问题：

先将限制条件统一改写成大于号的形式，如改写成，则ui即为大于号左侧的系数矩阵，ci为大于号右侧的常数向量。

fun3 <- function(x) {x1 = x[1]; x2 = x[2]2*x1+3*x2
}
constrOptim(theta = c(1,1),f = fun3, grad = NULL,ui = rbind(c(-1,-2), c(-4,0),c(0,-4), c(1,0), c(0,1)),ci = c(-8, -16, -12, 0, 0),control = list(fnscale = -1))## $par
## [1] 3.999998 2.000001
##
## $value
## [1] 14
##
## $counts
## function gradient
##      298       NA
##
## $convergence
## [1] 0
##
## $message
## NULL
##
## $outer.iterations
## [1] 3
##
## $barrier.value
## [1] 0.003847654