小C的数学问题线段树+分治

题目描述
小C是个云南中医学院的大一新生，在某个星期二，他的高数老师扔给了他一个问题。
让他在1天的时间内给出答案。
但是小C不会这问题，现在他来请教你。
请你帮他解决这个问题。
有n个数，每个数有权值。
数学老师定义了区间价值为区间和乘上区间内的最小值。
现在要你找出有最大区间价值的区间是什么，并输出区间价值。

输入
每个输入文件只包含单组数据。
第一行一个整数n。(1 <= n <= 100000)
第二行n个整数a_1,a_2,…,a_n。(0 <= a_i <= 1000000)

输出
第一行输出一个整数，表示最大的区间价值。
第二行输出两个整数，表示区间的起点和终点。
保证答案唯一。

样例输入
6
10 1 9 4 5 9
样例输出
108
3 6

确实是比较麻烦的一道题，涉及到区间和以及线段树的不少知识。这里分别用两个数组三个函数来实现。首先两个数组分别是sum数组，用于记录前缀和，以此来节省求和的过程，另一个是num数组，用来记录每个数的权值。结构体中存放的变量分别为区间左右值，区间最小值和区间最小值对应的下标。

三个函数中，初始化函数是对线段树的初始化，网上不少办法用到了pair，这里可以不用，直接用线段树的左右节点来求最小值就可以。find函数用于找最大的区间价值，其实就是一个分治的过程，找最大值的过程中，利用区间最小值点，将整个区间分为三部分，点左侧，点，点右侧，分别求点左侧区间和X点左侧最小值，点右侧区间和X点右侧最小值，整个区间区间和X点，取这三个值中更大的那个为结果。querymin函数用来找区间的最小值所在点，网上的办法用到了pair，这里修改了一下，直接返回最小值所在的节点编号，这样直接用过结构体找最小值和下标，思路是一样的。

总的来说，利用线段树找区间的最小值，然后用前缀和找区间和，在寻找最大区间价值时用分治的思想，这就是这道题一个大体的解决思路。

AC代码

#include<iostream>
#include<stdio.h>
using namespace std;
struct Node {int l,r;int mmin;//区间内的最小值 int id;//区间内最小值对应的下标
};
struct Node nodes[100005<<2];
long long int num[100005];
long long int sum[100005];
long long int ans=0;
int st=1,ed=1;
int querymin(int l,int r,int n)
{int mid;if(l==nodes[n].l&&r==nodes[n].r)return n;mid=(nodes[n].l+nodes[n].r)>>1;if(r<=mid)return querymin(l,r,n<<1);else if(l>mid)return querymin(l,r,n<<1|1);else{int a1=querymin(l,mid,n<<1);int a2=querymin(mid+1,r,n<<1|1);return nodes[a1].mmin<nodes[a2].mmin?a1:a2;}
}
long long int find(int l,int r)
{if(l>r) return 0;if(l==r)return num[l]*num[l];int p=querymin(l,r,1);int pos=nodes[p].id;long long int m=nodes[p].mmin;long long int res=(sum[r]-sum[l-1])*m;if(res>ans){ans=res;st=l;ed=r;}return max(res,max(find(l,pos-1),find(pos+1,r)));
}void build(int l,int r,int n)
{nodes[n].l=l;nodes[n].r=r;if(l==r){nodes[n].id=l;nodes[n].mmin=num[l];return;}   int mid=(l+r)>>1;build(l,mid,n<<1);build(mid+1,r,n<<1|1);if(nodes[n<<1].mmin<nodes[n<<1|1].mmin){nodes[n].mmin=nodes[n<<1].mmin;nodes[n].id=nodes[n<<1].id;}else{nodes[n].mmin=nodes[n<<1|1].mmin;nodes[n].id=nodes[n<<1|1].id;}
}
int main()
{int n;cin>>n;sum[0]=0;for(int i=1;i<=n;i++){cin>>num[i];sum[i]=sum[i-1]+num[i];} build(1,n,1);cout<<find(1,n)<<endl;cout<<st<<" "<<ed<<endl;   return 0;
}

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