1 信息量

首先是信息量。假设我们听到了两件事，分别如下：
事件A：巴西队进入了2018世界杯决赛圈。
事件B：中国队进入了2018世界杯决赛圈。
仅凭直觉来说，显而易见事件B的信息量比事件A的信息量要大。究其原因，是因为事件A发生的概率很大，事件B发生的概率很小。所以当越不可能的事件发生了，我们获取到的信息量就越大。越可能发生的事件发生了，我们获取到的信息量就越小。那么信息量应该和事件发生的概率有关。

假设XX是一个离散型随机变量，其取值集合为χχ,概率分布函数p(x)=Pr(X=x),x∈χp(x)=Pr(X=x),x∈χp(x)=Pr(X=x),x∈χ 则定义事件X=x0X=x_0X=x0的信息量为：
I(x0)=−log(p(x0))I(x_0)=−log(p(x_0))I(x0)=−log(p(x0))

由于是概率所以p(x0)p(x_0)p(x0)的取值范围是[0,1],绘制为图形如下：

可见该函数符合我们对信息量的直觉

2 熵（信息熵）

考虑另一个问题，对于某个事件，有n种可能性，每一种可能性都有一个概率p(xi)p(x_i)p(xi)
这样就可以计算出某一种可能性的信息量。举一个例子，假设你拿出了你的电脑，按下开关，会有三种可能性，下表列出了每一种可能的概率及其对应的信息量

我们现在有了信息量的定义，而熵用来表示所有信息量的期望，即：
H(X)=−∑i=1np(xi)log(p(xi))H(X)=−\sum_{i=1}^np(x_i)log(p(x_i))H(X)=−i=1∑np(xi)log(p(xi))
其中n代表所有的n种可能性，所以上面的问题结果就是

然而有一类比较特殊的问题，比如投掷硬币只有两种可能，字朝上或花朝上。买彩票只有两种可能，中奖或不中奖。我们称之为0-1分布问题（二项分布的特例），对于这类问题，熵的计算方法可以简化为如下算式：

函数Y=p(x)log⁡(p(x))Y = p(x)\log(p(x))Y=p(x)log(p(x))的图，

因为

因此对 p(x) = 0 , 我们令 p(x)log⁡(p(x))=0p(x)\log(p(x))=0p(x)log(p(x))=0

例子

考虑⼀个随机变量x，这个随机变量有8种可能的状态，每个状态都是等可能的。

若8种状态各自的概率为

则熵为：

我们看到，非均匀分布比均匀分布的熵要小。
信息熵代表的是随机变量或整个系统的不确定性，熵越大，随机变量或系统的不确定性就越大。

3 相对熵（KL散度）

相对熵又称KL散度,如果我们对于同一个随机变量 x 有两个单独的概率分布 P(x) 和 Q(x)，我们可以使用 KL 散度（Kullback-Leibler (KL) divergence）来衡量这两个分布的差异
即如果用P来描述目标问题，而不是用Q来描述目标问题，得到的信息增量。

在机器学习中，P往往用来表示样本的真实分布，比如[1,0,0]表示当前样本属于第一类。Q用来表示模型所预测的分布，比如[0.7,0.2,0.1]
直观的理解就是如果用P来描述样本，那么就非常完美。而用Q来描述样本，虽然可以大致描述，但是不是那么的完美，信息量不足，需要额外的一些“信息增量”才能达到和P一样完美的描述。如果我们的Q通过反复训练，也能完美的描述样本，那么就不再需要额外的“信息增量”，Q等价于P。

n为事件的所有可能性。
DKLD_{KL}DKL的值越小，表示q分布和p分布越接近

4 交叉熵

对上式变形可以得到：

等式的前一部分恰巧就是p的熵，等式的后一部分，就是交叉熵：

其中p(xi)p(x_i)p(xi)是真实的概率分布，q(xi)q(x_i)q(xi)是分类器得出的预测概率分布。

在机器学习中，我们需要评估label和predicts之间的差距，使用KL散度刚刚好，即DKL(y∣∣y^)D_{KL}(y||\hat{y})DKL(y∣∣y^)，由于KL散度中的前一部分−H(y)−H(y)−H(y)不变，故在优化过程中，只需要关注交叉熵就可以了。所以一般在机器学习中直接用用交叉熵做loss，评估模型。

机器学习中交叉熵的应用

1 为什么要用交叉熵做loss函数？

在线性回归问题中，常常使用MSE（Mean Squared Error）作为loss函数，比如：

这里的m表示m个样本的，loss为m个样本的loss均值。
MSE在线性回归问题中比较好用，那么在逻辑分类问题中还是如此么？

2 交叉熵在单分类问题中的使用

这里的单类别是指，每一张图像样本只能有一个类别，比如只能是狗或只能是猫。
交叉熵在单分类问题上基本是标配的方法

上式为一张样本的loss计算方法。式2.1中n代表着n种类别。
举例说明,比如有如下样本

对应的标签和预测值

那么

对应一个batch的loss就是

m为当前batch的样本数

3 交叉熵在多分类问题中的使用

这里的多类别是指，每一张图像样本可以有多个类别，比如同时包含一只猫和一只狗
和单分类问题的标签不同，多分类的标签是n-hot。
比如下面这张样本图，即有青蛙，又有老鼠，所以是一个多分类问题

对应的标签和预测值

值得注意的是，这里的Pred不再是通过softmax计算的了，这里采用的是sigmoid。将每一个节点的输出归一化到[0,1]之间。所有Pred值的和也不再为1。换句话说，就是每一个Label都是独立分布的，相互之间没有影响。所以交叉熵在这里是单独对每一个节点进行计算，每一个节点只有两种可能值，所以是一个二项分布。前面说过对于二项分布这种特殊的分布，熵的计算可以进行简化。

同样的，交叉熵的计算也可以简化，即

注意，上式只是针对一个节点的计算公式。这一点一定要和单分类loss区分开来。
例子中可以计算为：

单张样本的loss即为loss=loss猫+loss蛙+loss鼠loss=loss_猫+loss_蛙+loss_鼠loss=loss猫+loss蛙+loss鼠
每一个batch的loss就是：

式中m为当前batch中的样本量，n为类别数。

参考资料
https://blog.csdn.net/tsyccnh/article/details/79163834

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