1、PMF：离散型变量和概率分布律函数

离散型变量的概率分布可以用概率质量函数（probability mass function, PMF）来描述。我们通常用大写字母 PPP 来表示概率质量函数。通常每一个随机变量都会有一个不同的概率质量函数，并且读者必须根据随机变量来推断所使用的 PMF，而不是根据函数的名称来推断；例如， P(x)P(x)P(x) 通常和 P(y)P(y)P(y) 不一样。概率质量函数将随机变量能够取得的每个状态映射到随机变量取得该状态的概率。 x=x\rm x = \it xx=x 的概率用 P(x)P(x)P(x) 来表示，概率为 1 表示x=x\rm x = \it xx=x 是确定的，概率为 0 表示x=x\rm x = \it xx=x 是不可能发生的。有时为了使得PMF的使用不相互混淆，我们会明确写出随机变量的名称： P(x=x)P(\rm x = \it x)P(x=x)。有时我们会先定义一个随机变量，然后用 ∼ 符号来说明它遵循的分布： x∼P(x)x ∼ P(x)x∼P(x)。
概率质量函数可以同时作用于多个随机变量。这种多个变量的概率分布被称为联合概率分布（joint probability distribution）。 P(x=x;y=y)P(\rm x = \it x; \rm y = \it y)P(x=x;y=y) 表示x=x\rm x = \it xx=x 和y=y\rm y = \it yy=y 同时发生的概率。我们也可以简写为 P(x;y)P(x; y)P(x;y)。

如果一个函数PPP 是随机变量 x\rm xx 的 PMF，必须满足下面这几个条件：

PPP 的定义域必须是 x\rm xx 所有可能状态的集合。
∀x∈x,0≤P(x)≤1.\forall x \in x, 0\le P(x)\le 1.∀x∈x,0≤P(x)≤1.不可能发生的事件概率为0，并且不存在比这概率更低的状态。类似的，能够确保一定发生的事件概率为1，而且不存在比这概率更高的状态。这是PMF和PDF最主要的区别
∑x∈xP(x)=1.\sum_{x \in x} P(x) = 1.∑x∈xP(x)=1.我们把这条性质称之为归一性。如果没有这条性质，当我们计算很多事件其中之一发生的概率时可能会得到大于1的概率。

2、PDF：连续型变量和概率密度函数

当我们研究的对象是连续型随机变量时，我们用概率密度函数（probability density function, PDF）而不是概率质量函数来描述它的概率分布。如果一个函数 p是概率密度函数，必须满足下面这几个条件：

ppp的定义域必须是xxx所有可能状态的集合。
∀x∈x,p(x)≥0.\forall x \in x, p(x)\ge 0.∀x∈x,p(x)≥0.注意，我们并不要求p(x)≤1p(x)\le 1p(x)≤1。
∫p(x)dx=1.\int p(x) dx = 1.∫p(x)dx=1.

p(x)p(x)p(x)并没有直接对特定的状态给出概率，相对的，它给出了落在面积为δx\delta xδx的无限小的区域内的概率为p(x)δxp(x)\delta xp(x)δx。
我们可以对求积分来获得点集的真实概率质量。
特别地，xxx落在集合SSS中的概率可以通过p(x)p(x)p(x)对这个集合求积分来得到。
在单变量的例子中，xxx落在区间[a,b][a, b][a,b]的概率是∫[a,b]p(x)dx\int_{[a,b]} p(x)dx∫[a,b]p(x)dx。

3、CDF

CDF表示累计的概率。比如从0到x的概率累计。

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概率分布：PMF与PDF

文章目录

1、PMF：离散型变量和概率分布律函数

2、PDF：连续型变量和概率密度函数

3、CDF

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