主成分分析法_探索主成分分析法

主成分分析法 (Principal Component Analysis, PCA) 是一种数据压缩法，可以从数据中提取重要的部分并排除不重要的部分，是奇异值分解 (Singular Value Decomposition, SVD) 的重要应用。

SVD 是线性代数的一个亮点。

是一个

的列阵，矩阵秩

， SVD 会提供四个子空间的正交基，按重要性排序。我们有两组奇异向量，

在

里，

在

里，把

排列在

矩阵

，把

排列在

矩阵

。

SVD 不但找出正交基，还把

对角化成

，

和

的大小一样

，所以不一定是个方阵，可能右边和下边有零。但是我们可以丢掉零空间和左零空间的基向量，在

里，

是个

的方阵，

从大排到小。

SVD 是

，

和

是正交矩阵，有旋转作用。

是对角矩阵，有伸展作用。SVD 把

的变换分解成旋转、伸展、旋转。

是

的特征向量，叫左奇异向量。

是

的特征向量，叫右奇异向量。

和

有共同的特征值

，都是

的奇异值平方。用手的话可以用这个方法，但如果是很大的矩阵，要用计算机分解的话，我们不想乘

和

，太浪费计算力，最好直接用 svd() 。

现在我们要把数据带到实数空间，所以只能有数字，不能有分类数据。（其实我觉得不应该叫“数据”，因为“分类数据”根本就没有数字。）表格中，一行代表一条记录，一列代表一个特征。

表格里行比列多，每一列都减掉平均值，转换成矩阵，

是又高又细的、中心化好的矩阵，样本协方差矩阵是

，

的理由是求无偏估计。总方差是

的跡（对角线的和），等于

的特征值的和，也等于

的奇异值平方的和，

。

重要的是右奇异向量，

指向第

重要的方向，解释总方差的

部分。我们选

个最重要的

，

是主成分，我们只保留

的信息，降低了维数。

用 python 来实践一下吧，用 iris 数据，中心化，做 svd() ，奇异值除以

。

会把数据旋转到最好的方向，如果我们要用二维图表来看的话，

，

会变成

轴，

会变成

轴，丢掉

。我们用行向量，所以旋转做

就可以了，如果有一个行向量

，就做

。

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from sklearn import datasets
from itertools import combinations# 准备数据
iris = datasets.load_iris()# 四维数据分六个二维图表显示
fig, axes = plt.subplots(2, 3)
axes = axes.ravel()
for i, (x, y) in enumerate(combinations(range(4), 2)):axes[i].scatter(iris.data[:50, x], iris.data[:50, y],label=iris.target_names[0])axes[i].scatter(iris.data[50:100, x], iris.data[50:100, y],label=iris.target_names[1])axes[i].scatter(iris.data[100:, x], iris.data[100:, y],label=iris.target_names[2])axes[i].legend()axes[i].set_xlabel(iris.feature_names[x])axes[i].set_ylabel(iris.feature_names[y])
plt.show()# 做 SVD
A = iris.data - iris.data.mean(axis=0)
U, S, VT = np.linalg.svd(A, full_matrices=False)
S /= np.sqrt(A.shape[1] - 1)
print('如果从四维降到二维，会保留总方差的 {:.2%}。'.format((S**2)[:2].sum() / (S**2).sum()))# 从四维降到二维后图表显示
A_t = (A @ VT.T)[:, :2]
plt.scatter(A_t[:50, 0], A_t[:50, 1], label=iris.target_names[0])
plt.scatter(A_t[50:100, 0], A_t[50:100, 1], label=iris.target_names[1])
plt.scatter(A_t[100:, 0], A_t[100:, 1], label=iris.target_names[2])
plt.legend()
plt.xlabel(r'$vec v_1$')
plt.ylabel(r'$vec v_2$')
plt.show()

四维数据，需要用六个二维图表来看，但这些都是截面，仍然不能想象四维空间里的样子。

从四维降到二维后，保留 97.77% 的信息。

PCA 的功能就是压缩数据，同时保留最重要的信息。在数据分析的领域里，我们可以用它来降维。高维不仅对我们的想象力造成劳损，对建模也是一种诅咒，在这里主成分分析法是一个很有用的降维技巧。

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