一、问题描述

如右图所示的三自由度机械臂，关节1和关节2相互垂直，关节2和关节3相互平行。如图所示，所有关节均处于初始状态。

要求:

(1) 定义并标注出各关节的正方向；

(2) 定义机器人基坐标系｛0｝及连杆坐标系｛1｝，｛2｝，｛3｝；

(3) 求变换矩阵 , , ；

(4) 根据末端腕部位置 (x, y, z) 返求出对应关节 ， ， ；

(5) 利用软件绘制出机器人模型的三维点线图，并控制机器人腕部沿半径r=0.1的圆弧运动.

二、任务求解

2.1建立坐标系

2.2变换矩阵

2.2.1变换求解

(1)连杆坐标系｛1｝——基坐标系｛0｝

原点重合，可绕z轴任意旋转

(2)连杆坐标系｛2｝——连杆坐标系｛1｝

先绕x轴旋转90°，再绕新得到的y轴旋转90°，然后沿新得到的y轴平移 ，最后得到的坐标系可绕z轴任意旋转

3)连杆坐标系｛3｝——连杆坐标系｛2｝

绕z轴旋转-90°，再沿新得到的y轴平移 ，最后得到的坐标系可绕z轴任意旋转

2.2.2物理意义求解

变换矩阵的前三列，每列值对应的数为变换坐标系的坐标轴x、y、z在基坐标系中的坐标位置，第四列为变换坐标系的原点在基坐标系中的坐标位置，第四行为齐次补行数据，则可根据坐标系的位置直接列出下式：

可见，两种方式的结果表达式一致。

2.2.3变换矩阵终解

2.3逆运动学求解

2.3.1矩阵逆推导

由连杆坐标系｛3｝到基座坐标系｛0｝的齐次矩阵可以表示为

末端执行器的位置在基座坐标系｛0｝中的描述为

末端执行器的位置在基座坐标系｛0｝中的描述为

关系为：

根据矩阵对应元素相等，由MATLAB计算可得可得下面等式：

x=-(7*cos(a2)*sin(a1))/25-(7*cos(a2)*sin(a1)*sin(a3))/20(7*cos(a3)*

sin(a1)*sin(a2))/20

y=(7*cos(a1)*cos(a2))/25+(7*cos(a1)*cos(a2)*sin(a3))/20+(7*cos(a1)*cos(a3)*sin(a2))/20

z=(7*sin(a2))/25 + (7*sin(a2)*sin(a3))/20 - (7*cos(a2)*cos(a3))/20 + 47/100

由

则：

由对应元素相等，得：

(x*cos(a1))/(cos(a1)^2 + sin(a1)^2) + (y*sin(a1))/(cos(a1)^2 + sin(a1)^2)=0

(y*cos(a1))/(cos(a1)^2 + sin(a1)^2) - (x*sin(a1))/(cos(a1)^2 + sin(a1)^2)=(7*cos(a2))/25+(7*cos(a2)*sin(a3))/20+(7*cos(a3)*sin(a2))/20

z=(7*sin(a2))/25 + (7*sin(a2)*sin(a3))/20 - (7*cos(a2)*cos(a3))/20 + 47/100

综上可得，

2.3.2几何推导

在x0y平面，将末端执行器的轨迹投影到该平面，蓝色表示原位置，橘色代表移动后的位置，黑色坐标系为基坐标系，如下图：

由图易见， 为末端执行器投影到xoy平面x与y的夹角，(逆时针为正),

在y0z平面，将末端执行器的轨迹投影到该平面，蓝色表示原位置，橘色代表移动后的位置，黑色坐标系为基坐标系，如下图：

将末端执行器的轨迹投影到下图所示平面，蓝色表示原位置，橘色代表移动后的位置，黑色坐标系为基坐标系，如下图：

构建直角三角形，可得：

综上，得各关节角与坐标位置的关系为：

三、D-H模型法求解

3.1坐标系建立

0号杆件固连在基座上，建立基坐标系

3.2 D-H参数

3.3各关节变换矩阵

若已知四个参数就完全确定了两连杆之间的相对关系。对此，我们建立基坐标系和连杆运动坐标系之间的变换关系。对于旋转关节可以确定以下的齐次矩阵

即先绕x轴旋转，

然后沿x轴移动，再沿基坐标系的z轴移动d，最后绕z轴旋转

将参数代入上式，由此可以得到各关节变换矩阵

3.4求逆变换

同2.3.1

四、软件仿真

4.1程序代码

用软件python(x,y)编写代码，如下：

4.2仿真结果