文 | Jerry Qiu
编 | 小轶

我们都知道，人类在很多任务上都可以很好地完成“外推”，例如：

啊不——我是说——例如，我们学会两位数的加减乘除后，就可以轻松将其推广至任意大整数的四则运算：

从数学的角度来讲，外推其实是与内插并列的一个概念。想必大家对多项式插值、样条插值等插值方法不陌生。通过已知的、离散的数据点，在范围内推求新数据点，即称为内插（Interpolation）。而如果我们在已知数据在范围外推求新数据点，则是外推（Extrapolate）。

在通用人工智能被广泛讨论的今天，我们不禁发问，神经网络能像人类一样完成外推吗？即神经网络在训练分布的支撑集^[1]之外，会如何表现？前辈们对于这一问题已经进行了一定的探究。然而令人困惑的是，他们对神经网络的外推给出了截然不同的结论。

早期的工作表明，多层感知机（Multi-layer Perceptron，MLP）在学习简单的多项式函数时不能很好地外推^[2,3]。然而近期的⼀些工作则表明，在部分具有挑战性的算法任务上（例如求解数学方程、预测物理系统的时间演化），图神经网络（Graph Neural Network，GNN）具有很好的泛化能力，能够将训练结果推广至比训练集更大的图上^[4,5,6]。

多层感知机与图神经网络截然相反的表现引人深思：什么样的网络，在什么样的条件下才会具有较强的外推能力呢？

今天给大家分享的这篇论文便研究了这一问题。该文在ICLR'21的review阶段获得了最高的平均得分。审稿人们纷纷赞其见解之深刻，在神经网络外推能力的分析上迈出了重要的一步。

论文题目：

How Neural Networks Extrapolate: From Feedforward to Graph Neural Networks

论文链接:

https://arxiv.org/pdf/2009.11848.pdf

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论文概述

为了解释为何不同神经网络的外推能力不尽相同，论文作者详细探究了使用梯度下降训练的神经网络是如何外推的。直觉上来说，神经网络在训练分布之外的表现是任意的、不可预料的^[7]，但事实上，如果网络用梯度下降算法进行训练，则它的外推能力是有规律可循的。

在我们评价神经网络的外推能力前，我们需要先确定一个指标来衡量它。为此，论文作者定义了外推误差这一概念。一个模型的外推误差越小，则其外推能力越强。作者基于此讨论了MLP和GNN的具备外推能力的条件。

外推误差

在机器学习中，我们通常都希望在训练集

上学习一个函数

，训练目标是使

满足

。注意，这里

是训练分布的支撑集，且

只是

的一个子集。

然而由于种种因素的限制，神经网络一般难以学到完美符合要求的函数

，而只能得出一个与

存在差距的函数

，从而我们定义外推误差如下：

不难看出，外推误差就是函数

在训练分布支撑集之外的误差上界。

MLP

多层感知机是结构最简单的神经网络，也是众多复杂网络架构（例如GNN）的组成部分。

收敛至线性

作者发现，使用ReLU激活函数、过参数化的MLP在训练分布外，总是沿着从原点出发的各个方向都收敛为线性函数，如下图所示。

图中灰色部分是MLP需要学习的非线性函数，蓝色部分是MLP在训练分布内学得的结果，黑色部分是MLP在训练分布外的表现。

作者也从理论上给出了双层ReLU MLP收敛速率的证明，发现这种收敛常常出现在靠近训练数据的位置，这表明ReLU MLPs在大多数非线性任务上的外推能力都较弱。

MLPs外推误差小的条件

同时作者也发现，当目标函数为线性函数时，MLPs的外推表现较好。然而MLPs能否成功地进行外推，还取决于训练数据的几何形状。如果训练分布的支撑集包括了各个方向（例如包含原点的超立方体），则MLPs的外推误差较小。这一条件听起来可能无法理解，不妨一睹作者给出的数学定义：

Suppose the target function is

for some

. Suppose the training data

is sampled from a distribution whose support

contains subset

, where for any non-zero

, there exists

so that

.

即MLPs 外推误差小的条件是：训练数据是从支撑集

中采样得到的，它包含一个子集

，满足：对于任意的

维向量

，存在正数

使得

属于

，我们不难发现，显然这个

需要包含原点。

作者给出了MLP学习线性目标函数的示例（灰色部分是MLP需要学习的线性函数，蓝色部分是训练分布，黑色部分是MLP在训练分布外的表现）：

由于图上已经说得比较清楚，笔者尝试换个角度给出说明：假定数据分布定义在一个矩形区域内（蓝色部分），左一的原点在矩形区域内，此时训练数据自然是包含从原点出发的各个方向的，可以看出这时MLP外推效果较好；左二的原点在矩形的边上，那么从原点出发的红色箭头的反方向就没有训练数据，MLP外推开始出现了一些偏差；右二的原点在矩形的角上，MLP外推的偏差也较大；右一中，数据分布定义在一条经过原点的线上，使得训练分布之外的部分有明显的外推误差。

GNN

图神经网络在多项非线性算法任务上表现出不错的外推能力，例如图算法、符号数学等。作者基于前文关于MLP的结论，继续探究GNN的外推效果。

作者猜想，如果编码适当的非线性至GNN的架构和输入表示中，让MLP组件仅学习线性函数，那么GNN就能在动态规划任务中顺利外推，获得较小的外推误差。

编码非线性至架构

以最短路问题为例，著名的的Bellman-Ford算法中的更新式如下：

而使用最小值聚合（min-aggregation）的GNN架构的节点表示如下：

不难发现以上两式十分相似。因此， 如果我们让GNN中的MLP模块学习线性函数

，则GNN就可以模拟Bellman-Ford算法。由于我们已知MLP在线性任务上外推能力较强，因此使用最小值聚合的GNN也可以在这个最短路问题上具备较强的外推能力。

编码非线性至输入表示

对于某些任务，改变输入表示，会更容易达到好的外推能力。在这种情况下，我们可以将目标函数

分解成嵌入（Embedding）

和一个模型外推效果较好的目标函数

，使得

，就可以有助于外推。

作者在动态规划中的多体问题上验证了这一观点（多体问题：预测多个物体在引力作用下随时间的演化情况）。作者对输入表示进行了转换，使得MLP只需学习线性函数。与转换前MLP需要学习非线性函数相比，平均绝对百分比误差（Mean Average Percentage Error）大大下降。

总结

本论文是麻省理工CSAIL实验室研究生Keyulu Xu继ICLR 2020论文 What can Neural Networks Reason About? 之后的又一力作。论文兼具严谨的理论推导及有力的实验验证，甚至有一位审稿人直言40页的附录太长没看。

作为一篇数理性较强的研究，它的行文也做到了较高的流畅性和易读性。适逢GNN大红大紫之时，作者高屋建瓴，对GNN的外推能力提出了新的观点，对社区做出了可观的贡献，确实令人钦佩。

最后，愿大家都能在学术领域中勇闯无人之境！

Boldly go where no one has gone before. ——《Star Trek》

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[1]Support (mathematics): https://en.wikipedia.org/wiki/Support_(mathematics)

[2]Barnard E, Wessels L F A. Extrapolation and interpolation in neural network classifiers[J]. IEEE Control Systems Magazine, 1992, 12(5): 50-53.

[3]Haley P J, Soloway D. Extrapolation limitations of multilayer feedforward neural networks[C]// IJCNN International Joint Conference on Neural Networks. IEEE, 1992, 4: 25-30.

[4]Battaglia P, Pascanu R, Lai M, et al. Interaction networks for learning about objects, relations and physics[C]//Proceedings of the 30th International Conference on Neural Information Processing Systems. 2016: 4509-4517.

[5]Veličković P, Ying R, Padovano M, et al. Neural Execution of Graph Algorithms[C]//International Conference on Learning Representations. 2019.

[6] Lample G, Charton F. Deep Learning For Symbolic Mathematics[C]//International Conference on Learning Representations. 2019.

[7]Zhang C, Bengio S, Hardt M, et al. Understanding deep learning requires rethinking generalization[J]. arXiv preprint arXiv:1611.03530, 2016.