原创 2018-01-11 王朋波 模态空间

1、概述

在汽车行业中，橡胶材料的概念不局限于天然橡胶，而是指任何与天然橡胶具有类似力学特性的材料。橡胶实际是高分子聚合物（分子量一般在10万以上），具有其它材料所没有的高弹性，因而也称为超弹性材料。

天然橡胶源于南美洲的哭泪树，即三叶橡胶树，树皮割开后流出的胶乳干燥凝固后就是天然橡胶。合成橡胶则是由不同单体用化学方法聚合而成，单体有丁二烯、苯乙烯、丙烯腈、异丁烯、氯丁二烯等多种，主要来源于石油提炼物。

图1 橡胶大分子长链结构

橡胶的大分子是长链结构，这种分子结构使橡胶制品受热变软、遇冷发脆、不易成型、易磨损、易溶于有机溶剂，所以橡胶必须经过硫化处理来改善性能。在一定的温度和压力条件下，生胶与硫化剂发生化学反应，橡胶大分子由长链结构交联成三维网状结构，从而具备了较高的弹性、耐热性、拉伸强度和在有机溶剂中的不溶解性等性能。

图2 炭黑对橡胶大分子的吸附

橡胶通常还要使用炭黑来补强性能。炭黑通过吸附橡胶分子和形成包容达到增强效果；炭黑粒子之间本身还会形成二级网络，二级网络以及橡胶分子-炭黑粒子之间的网络在橡胶变形的过程中会发生破坏与重构。所以橡胶中加入炭黑后，其拉伸强度、硬度和耐磨性能都会有明显的提高。

2、橡胶材料的力学特性

橡胶材料的力学特性可分为超弹性和粘弹性两类。超弹性特性主要表现为低模量和高延展性、非线性应力应变曲线和几乎不可压缩性；粘弹性特性主要表现为蠕变和应力松弛、滞后特性、动态软化特性和温度效应。

2.1 橡胶材料的超弹性特性

低模量和高延展性是橡胶材料最明显也最重要的物理特性。图3为天然橡胶的应力-伸长率曲线，伸长率可达500%～1000%。在小应变范围内橡胶的杨氏模量（由曲线正切值代表）在1.0MPa数量级。这种高可伸展性和低模量与金属材料恰好相反，对常见的钢铁而言，杨氏模量的值约为200GPa，最大弹性延伸率约为10%或更低。

图3 硫化橡胶的典型拉身应力—伸长率曲

因为低模量和高延展性，橡胶在较小的应力作用下就能发生高度变形，而且常常伴随着大转动。

从图4应力-应变曲线可见橡胶材料的非线性性质很明显，因此除非在小应变范围，一般不能定义杨氏模量。橡胶非线性弹性与金属弹塑性的一个重要区别是，橡胶材料缓慢加卸载情况下，加载路径与卸载路径可认为是一致的，也就是橡胶在去除外力后其变形几乎能完全回复。

(a) 金属应力-应变曲线

(b) 橡胶应力-应变曲线

图4 金属弹塑性与橡胶非线性弹性

橡胶材料还有一个特点是它的体积几乎不可压缩，其泊松比通常大于0.48甚至有可能超过0.499，非常接近极限值0.5。这就意味着静水压力引起的变形接近0，导致纯位移形式的有限元方案无法求解，需要采用特殊办法处理。

2.2 橡胶材料的粘弹性特性

在恒定载荷作用下，应变随时间而逐渐增加的现象，称为蠕变。不同的材料或某种材料在不同条件下的蠕变并不相同，橡胶等聚合物尤为明显。在恒定应变作用下应力随时间而减小的现象或过程，称为应力松弛，对于橡胶等交联聚合物，经过较长时间后应力衰减至某一定值，但一般不会衰减到零。蠕变和松弛意味着橡胶材料性能的衰减。

聚合物在交变应力作用下应变落后于应力的现象称滞后现象，如图5。因为滞后现象的存在，在交变应力下，橡胶的弹性模量实际上是复数形式，实部称作储存模量，虚部称为损耗模量。损耗模量与储存模量的比值叫做损耗正切，也叫损耗因子或结构阻尼系数。损耗正切实际上是每周期耗散能量与一周期内的最大贮能之比，它表征了橡胶材料的阻尼性能。

图5 滞后现象

橡胶的粘特性特征还表现为Payne效应，Payne效应描述橡胶动态力学性能的非线性特征。即储存模量E’随应变幅的增大而减小，损耗模量E”随应变幅的增大而增大、在达到一个极值后减小。

图6 储存模量和损耗模量随应变幅值的变化

橡胶材料特性对温度敏感。随着温度的升高，其储存模量和损耗模量数值都将减小，如图7。

图7 温度对橡胶复模量的影响

3、橡胶材料本构关系

对于线弹性材料，应力可根据小变形应变和弹性模量得到，这就是平常所说的广义胡克定律。但橡胶材料在受力时可能发生很大的变形，此时小变形应变和弹性模量的概念并不适用。例如一个单向压缩橡胶试件，如果其初始杨氏模量为1MPa，承受的名义应力为1MPa，按照广义胡克定律计算的压缩应变为100%，也就是所橡胶被压缩至长度为0，这显然不符合实际情况。

对于橡胶材料，通常使用格林变形张量C或格林应变张量E描述变形。并将应变能密度W定义为格林应变张量的函数，应力可从应变能函数求偏导得出，即

注意此处的应力张量S是第二类P-K应力张量。

3.1 格林变形张量和格林应变张量

对于大变形问题，可定义格林变形张量C，以确定某一点邻域内的变形状态，其中x为变形后的坐标矢量，u为位移矢量，I为度量张量。

微元体变形前后的体积比J可以根据C得到变形状态还可以用格林应变张量E确定，它与格林变形张量的关系为

它和位移之间的关系为

小变形情况下，忽略二次项，格林应变张量退化为小变形应变张量

3.2 常见的超弹性材料模型

对于橡胶等超弹性材料，可将应变能密度函数表示为格林变形张量三个不变量的函数，

假设橡胶是不可压缩的，即I₃=1，Rivlin建议应变能函数由下式表述

如果只取第一项，就得到neo-Hookean模型

其中常数C₁₀=G/2，G为初始剪切模量。

初看令人惊奇，定义橡胶材料特性只需要单个弹性常量G，而利用线弹性理论定义材料特性却需要体积模量K和剪切模量G这两个互不相关的弹性常数。这是由于体积不可压假设引起的。从物理角度看，橡胶材料的体积变化相比剪切变形可以忽略，即G/K远小于1，大致为10^-4数量级，因此橡胶材料的应力可以只由剪模量G确定。

neo-Hookean 模型形式简单，它的最大优点是只需从试验数据中得到一个常数C₁₀，因而所需的试验数目是最少的。但也有缺点，对于大应变与实际情况相差太大，只适用于应变<30%的情况。

式(9)取至第二项，就得到Mooney-Rivlin模型

Mooney-Rivlin模型基于下列假设：

(1) 橡胶是不可压缩的而且在变形前是各向同性的。

(2) 简单剪切包括先受简单拉伸再在平面截面上叠加简单剪切服从虎克定律。

式(10)中C₁₀和C₀₁均为正定常数。对于大多数橡胶，C₁₀/C₀₁≈0.1~0.2时，在应变150%以内可得合理的近似。

Mooney-Rivlin模型得到了广泛的认可，但它可能在某些情况下表现得过于刚硬，适用于小变形和中等变形情况。

Yeoh模型试图采用的高阶项来修正应变能函数，其表达式如下

Yeoh模型考虑了I₁的高阶项，不同实验得到的数据协调，在中到大变形范围的模拟精度较高。

Odgen模型也是一种常用的模型，它使用格林应变张量三个主轴三个主伸长率λ₁、λ₂和λ₃来定义应变能密度

Ogden模型可自由调整级数的项数以拟合试验数据，但是不同试验所确定的材料常数很可能不协调。

4、有限元模拟方案

4.1 超弹性材料的定义

整车或零部件的振动分析一般是基于线性化假设，此时橡胶材料可以定义为各向同性线弹性材料，输入材料模量（可以是杨氏模量E，也可以是剪切模量G）和泊松比。注意此处的模量应该是橡胶部件当前受力状态下的切线模量，而不是初始模量；如果采用位移型单元，即使橡胶是完全不可压缩，泊松比也不能取0.5，通常将泊松比设置为0.48以下。

对于静强度分析，应考虑橡胶部件可能发生较大的变形，从而表现出高度非线性。此时应将橡胶材料定义为超弹性材料，并且在分析中需要包含几何非线性效应。

常用非线性有限元求解器如Abaqus、Marc、Nastran的SOL400等都提供了neo-Hookean、Mooney-Rivlin和Odgen等常见的超弹性材料模型供用户选择。这些有限元软件还提供了试验数据拟合功能。用户输入试验测试的名义应力和名义应变数值，软件采用最小二乘法来计算材料常数。软件能够拟合的试验数据有：

单轴拉伸和压缩

等双轴拉伸和压缩

平面拉伸和压缩

三轴拉伸和压缩

为提升仿真精度，试验应该根据仿真分析中可能发生的变形模式和应变范围进行设计。例如试件在仿真分析中受到压缩载荷，我们应该采集单轴或双轴压缩试验数据，而不是拉伸试验数据。如果在仿真分析中橡胶部件的应变范围较小，则我们只需要做中低应变试验。

在实际汽车项目开发中，很多情况下我们只知道橡胶材料的初始弹性模量E，此时可默认橡胶材料不可压缩，用neo-Hookean模型定义橡胶超弹性，常数C₁₀设置为E的1/6。

4.2 单元的选择

如果材料是不可压缩的，则单元在静水压作用下不产生任何变形，其应力不能由节点位移计算得到。也就是说，对于不可压缩材料，仅采用纯位移形式的单元是无法求解的。

当材料是不可压缩或者接近不可压缩（泊松比>0.49），应采用杂交单元。杂交单元包含一个可直接确定单元中压应力的附加自由度，其节点位移只用来计算应变偏量或应力偏量。

Abaqus中的杂交单元用字母H标识，例如六面体实体单元C3D8所对应的杂交形式为C3D8H。

4.3 如何引入可压缩性

橡胶实际上是近似不可压缩，而不是完全不可压缩，有时我们还需要考虑它的可压缩性。此时可在应变能密度函数中增加一个体积应变能项。

例如Abaqus中的neo-Hookean模型和Moony-Rivlin模型的体积应变能项为如下形式：

其中D₁=2/K，K为初始体积模量。如果材料是完全不可压缩的，则将D₁设置为0。

Abaqus中Odgen模型的体积应变能则利用多项式给出

其中D₁=2/K，K为初始体积模量。如果材料是完全不可压缩的，则所有D_i都设置为0。

4.4 粘弹性的模拟

在Abaqus中* VISCOELASTIC关键字提供了丰富的粘弹性模拟功能，既可以定义蠕变和应力松弛等时域特性，也可定义应变滞后这种频域特性，还可以输入时间温度参数，以定义橡胶粘弹性的时温效应。具体操作可参考Abaqus手册，本文不再详细介绍。

基于Nastran的动力学分析是线性分析，无法直接定义材料的粘弹性，但橡胶材料滞后特性所带来的能量耗散不应忽略。此时应当将橡胶的滞后特性考虑为结构阻尼，在相应的MATi卡片的GE域输入橡胶材料的损耗因子。

5、小结

1) 橡胶超弹性特性主要表现为低模量和高延展性、非线性应力应变曲线和几乎不可压缩性；粘弹性特性主要表现为蠕变和应力松弛、滞后特性、Paybe效应和温度效应。

2) 对于橡胶等超弹性材料，通常将应变能密度定义为格林应变张量的函数，应变能密度函数对格林应变张量求偏导得出应力张量。

3) 常见的橡胶超弹性本构关系模型有neo-Hookean、Mooney-Rivlin和Odgen等几种，其中Mooney-Rivlin模型得到了广泛的认可。

4) 当如果橡胶材料是不可压缩的或者接近不可压缩的（泊松比>0.49），在有限元分析中应采用杂交单元模拟。

5) 线性动力学分析通常无法直接定义橡胶材料的粘弹性，但橡胶材料滞后特性所带来的能量耗散不应忽略，此时应当将橡胶的滞后特性考虑为结构阻尼。

​

作者简介

王朋波，清华大学力学博士，汽车结构CAE分析专家。重庆市科协成员、《计算机辅助工程》期刊审稿人、交通运输部项目评审专家。专业领域为整车疲劳耐久/NVH/碰撞安全性能开发与仿真计算，车体结构优化与轻量化，CAE分析流程自动化等。