高斯——拉盖尔积分法和高斯——勒让德积分法求积分

1.介绍
微积分的两大部分是微分与积分。微分实际上是求一函数的导数，而积分是已知一函数的导数，求这一函数。所以，微分与积分互为逆运算。实际上，积分还可以分为两部分。第一种，是单纯的积分，也就是已知导数求原函数，称为不定积分9。相对而言，另一种就是定积分了，之所以称其为定积分，是因为它积分后得出的值是确定的，是- -个数，而不是-一个函数。计算定积分的方法很多，而高斯一勒让德公式就是其中之一。

高斯积分法是精度最高的插值型数值积分，具有阶精度，并且高斯积分总是稳定。而高斯求积系数，可以由Lagrange 多项式Q插值系数进行积分得到。

高斯-勒让德求积公式是构造高精度差值积分的最好方法之一。他是通过让节点和积分系数待定让函数以此取次多项式使其尽可能多的能够精确成立来求出积分节点和积分系数。高斯积分的代数精度是，而且是最高的。通常运用的是的积分节点和积分系数，其他积分域是通过一定的变换变换到-1到1之间积分。

2.高斯-勒让德求积公式
在区间上，高斯-勒让德求积公式为

∫f(x)dx≈∑Akf(xk),上限为1，下限的-1，连加从0到x

我们知道勒让德多项式Pn+1(x)的零点就是求积公式的高斯点，形如上式的高斯公式特别的称为高斯-勒让德公式。

若取P1(x)=x的零点xo=0做节点构造求积公式.

∫f(x)dx≈Aof(0)，上限为1，下限的-1

令它对f(x)=1准确成立,即可定出

A0=2。这样构造出的一点高斯勒让德求积公式是中矩形公式，再取

P2(x)=言(3x*2-1)的两个零点土方构造求积公式

∫f(x)dx≈Aof(1/(-√3))+A1f(1/(√3)),上限为1，下限的-1

令它对f(x)=1,x都准确成立，有

Ao+A1=2,Ao(1/(-√3))+A1(1/(√3))=0

由此解出Ao=A1=1,从而得到两点高斯-勒让德求积公式

∫f(x)dx≈Aof(1/(-√3))+A1f(1/(√3)),上限为1，下限的-1

三点高斯-勒让德公式的形式是

∫f(x)dx≈5/9f(-√15/5)+8/9f(0)+5/9f(√15/5)
代码如下：

GaussP=[-0.5773503 0.5773503];                              %高斯点
GaussA=[1 1];                                               %高斯系数
h = 0.1;                                                    %剖分步长
x = 0:h:1;                                                  %区间[0,1]
for i=1:length(x)-1points = h/2*GaussP + (x(i+1)+x(i))/2;                  %区间变换f(i) = 0;for k=1:2f(i) = f(i) + h/2*points(k)^2*GaussA(k);end
end
result = sum(f)

高斯拉盖尔法则是专门用于指数衰减函数的形式的积分

∫e^（-x）f(x)dx≈∑Wif(xi)，上限为无穷，下限为0，从i=0相加到i=n

该法则的权值和样本点以一个幂指数的积分函数和积分范围的一半为无穷大9。从上面方程的右则可以看到，该法则的样本点只会被代入函数f(x)，而不是整个被积函数e - xf(x)。

这种方法之所以这样叫，是因为采样只点是一个叫做拉盖尔多项式的多项式的根，这种多项式是以这种形式出现的

Ln(x)=e^（x）(dn/dx^n)(e（-x）x^n)=0

下表给出了n= 5时该方法的权重和采样点的总结。注意，随着方法顺序的增加，加权系数值迅速减小。高斯-拉盖尔法则的系数可以使用多项式替换来导出。
代码如下：

function q = IntGaussLager(f,n,AK,XK)
%被积积分：f；
%自定义系数：AK
%自定义积分点：XK；
%积分值：q；
if (n<6 && nargin == 2)AK = 0;XK = 0;
elseq=sum(AK.*subs(str2sym(f),findstr2sym(f),XK));
end
switch ncase 2  %q=0.853553*subs(str2sym(f),findstr2sym(str2sym(f)),-0.585786)+...0.146447*subs(str2sym(f),findstr2sym(str2sym(f)),3.414214);case 3q=0.711093*subs(str2sym(f),findstr2sym(str2sym(f)),0.415575)+...0.278518*subs(str2sym(f),findstr2sym(str2sym(f)),2.294280)+...0.0103893*subs(str2sym(f),findstr2sym(str2sym(f)),6.289945);case 4q=0.603154*subs(str2sym(f),findstr2sym(str2sym(f)),0.322548)+...0.357419*subs(str2sym(f),findstr2sym(str2sym(f)),1.745761)+...0.0388879*subs(str2sym(f),findstr2sym(str2sym(f)),4.536620)+...0.000536295*subs(str2sym(f),findstr2sym(str2sym(f)),9.395071);case 5q=0.521756*subs(str2sym(f),findstr2sym(str2sym(f)),0.2635601)+...0.398667*subs(str2sym(f),findstr2sym(str2sym(f)),1.413403)+...0.0759424*subs(str2sym(f),findstr2sym(str2sym(f)),3.596426)+...0.00361176*subs(str2sym(f),findstr2sym(str2sym(f)),7.085810)+...0.0000233700*subs(str2sym(f),findstr2sym(str2sym(f)),12.640801);
end

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