一篇文章让你彻底了解算法的时间复杂度O(n)!!!

一、时间频度

基本介绍：
时间频度：一个算法花费的时间与算法中语句的执行次数成正比例，哪个算法中语句执行次数多，它花费时间就多。一个算法中的语句执行次数称为语句频度或时间频度。记为 T(n)。[举例说明]
比如计算 1-100 所有数字之和, 我们设计两种算法：

举例说明-忽略常数项

结论:

1) 2n+20 和 2n 随着 n 变大，执行曲线无限接近, 20 可以忽略
2) 3n+10 和 3n 随着 n 变大，执行曲线无限接近, 10 可以忽略

举例说明-忽略低次项

结论:

1) 2n^2 +3n+10 和 2n^2 随着 n 变大, 执行曲线无限接近, 可以忽略 3n+10
2) n^2+5n+20 和 n^2 随着 n 变大,执行曲线无限接近, 可以忽略 5n+20

 举例说明-忽略系数

结论:

1) 随着 n 值变大，5n^2+7n 和 3n^2 + 2n ，执行曲线重合, 说明这种情况下, 5 和 3 可以忽略。
2) 而 n^3+5n 和 6n^3+4n ，执行曲线分离，说明多少次方式关键

二、时间复杂度

一般情况下，算法中的基本操作语句的重复执行次数是问题规模 n 的某个函数，用 T(n)表示，若有某个辅助函数 f(n)，使得当 n 趋近于无穷大时，T(n) / f(n) 的极限值为不等于零的常数，则称 f(n)是 T(n)的同数量级函数。记作 T(n)=Ｏ( f(n) )，称Ｏ( f(n) ) 为算法的渐进时间复杂度，简称时间复杂度。
T(n) 不同，但时间复杂度可能相同。如：T(n)=n²+7n+6 与 T(n)=3n²+2n+2 它们的 T(n) 不同，但时间复杂度相同，都为 O(n²)。

3) 计算时间复杂度的方法：

用常数 1 代替运行时间中的所有加法常数 T(n)=3n²+7n+6 => T(n)=3n²+7n+1
修改后的运行次数函数中，只保留最高阶项 T(n)=3n²+7n+1 => T(n) =3n²
去除最高阶项的系数 T(n) = n² => T(n)

三、常见的时间复杂度：

常数阶 O(1)
对数阶 O(log2n)
线性阶 O(n)
线性对数阶 O(nlog2n)
平方阶 O(n^2)
立方阶 O(n^3)
k 次方阶 O(n^k)
指数阶 O(2^n)

常见的时间复杂度对应的图:

说明：

常见的算法时间复杂度由小到大依次为：Ο(1)＜Ο(log2n)＜Ο(n)＜Ο(nlog2n)＜Ο(n2)＜Ο(n3)＜ Ο(nk) ＜ Ο(2n) ，随着问题规模 n 的不断增大，上述时间复杂度不断增大，算法的执行效率越低
从图中可见，我们应该尽可能避免使用指数阶的算法

1) 常数阶 O(1)

2) 对数阶 O(log2n)

3) 线性阶 O(n)

4) 线性对数阶 O(nlogN)

5) 平方阶 O(n²)

6) 立方阶 O(n³)、K 次方阶 O(n^k)
说明：参考上面的 O(n²) 去理解就好了，O(n³)相当于三层 n 循环，其它的类似

四、平均时间复杂度和最坏时间复杂度

平均时间复杂度是指所有可能的输入实例均以等概率出现的情况下，该算法的运行时间。
最坏情况下的时间复杂度称最坏时间复杂度。一般讨论的时间复杂度均是最坏情况下的时间复杂度。这样做的原因是：最坏情况下的时间复杂度是算法在任何输入实例上运行时间的界限，这就保证了算法的运行时间不会比最坏情况更长。
平均时间复杂度和最坏时间复杂度是否一致，和算法有关(如图:)