洛谷 P4238 【模板】多项式求逆 ntt

题目描述

给定一个多项式F(x)F(x)F(x)，请求出一个多项式G(x)G(x)G(x)，满足F(x)∗G(x)≡1(mod xn)F(x)∗G(x)≡1(modxn)F(x)∗G(x)≡1(mod\ x^n )。系数对998244353998244353998244353取模。

输入输出格式

输入格式：
首先输入一个整数nnn，表示输入多项式的次数。
接着输入n" role="presentation" style="position: relative;">nnn个整数，第iii个整数ai" role="presentation" style="position: relative;">aiaia_i，代表F(x)F(x)F(x)次数为i−1i−1i−1的项的系数。

输出格式：
输出nnn个数字，第i" role="presentation" style="position: relative;">iii个整数bibib_i，代表G(x)G(x)G(x)次数为i−1i−1i−1的项的系数。

输入输出样例

输入样例#1：
5
1 6 3 4 9
输出样例#1：
1 998244347 33 998244169 1020
说明
1≤n≤105,0≤ai≤1091≤n≤105,0≤ai≤1091≤n≤10^5 ,0≤a_i≤10^9

分析：
多项式求逆的模板题。之前一直不知道后面的(mod xn)(modxn)(mod\ x^n)是什么意思，其实是对多项式xnxnx^n取模，也就是次数大于nnn的项为0" role="presentation" style="position: relative;">000。设A(x)A(x)A(x)为原多项式，B′(x)B′(x)B'(x)为在mod xn/2modxn/2mod\ x^{n/2}的逆元，B(x)B(x)B(x)为在mod xnmodxnmod\ x^{n}逆元，这里是向上取整，因为这样才能使幂次达到nnn。有

B(x)=2B′(x)−A(x)∗B′2(x)" role="presentation" style="text-align: center; position: relative;">B(x)=2B′(x)−A(x)∗B′2(x)B(x)=2B′(x)−A(x)∗B′2(x)

B(x)=2B'(x)-A(x)*B’^2(x)
后面那个是两个卷积，次数要算对，wa了好久。

代码：

// luogu-judger-enable-o2
#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cmath>
#define LL long longconst LL p=998244353;
const LL G=3;
const int maxn=3e5+7;using namespace std;LL f[maxn],g[maxn],x[maxn],y[maxn],w[maxn];
LL n,len;
LL r[maxn];LL power(LL x,LL y)
{if (y==1) return x;LL c=power(x,y/2);c=(c*c)%p;if (y%2) c=(c*x)%p;return c;
}void init(LL len)
{LL k=trunc(log(len+0.5)/log(2));for (LL i=0;i<len;i++){r[i]=(r[i>>1]>>1)|((i&1)<<(k-1));}
}void ntt(LL *a,LL f)
{for (LL i=0;i<len;i++){if (i<r[i]) swap(a[i],a[r[i]]);}   w[0]=1;for (LL i=2;i<=len;i*=2){LL wn;if (f==1) wn=power(G,(LL)(p-1)/i);else wn=power(G,(LL)(p-1)-(p-1)/i);for (LL j=i/2;j>=0;j-=2) w[j]=w[j/2];for (LL j=1;j<i/2;j+=2) w[j]=(w[j-1]*wn)%p;for (LL j=0;j<len;j+=i){for (LL k=0;k<i/2;k++){LL u=a[j+k],v=(a[j+k+i/2]*w[k])%p;a[j+k]=(u+v)%p;a[j+k+i/2]=(u-v+p)%p;}}}if (f==-1){LL inv=power(len,p-2);for (LL i=0;i<len;i++) a[i]=(a[i]*inv)%p;}
}void NTT(LL *a,LL *b,LL *c,LL n,LL m)
{   len=1;while (len<=(n+m)) len*=2;init(len);for (int i=0;i<len;i++){if (i<n) x[i]=a[i]; else x[i]=0;if (i<m) y[i]=b[i]; else y[i]=0;}   ntt(x,1); ntt(y,1);for (LL i=0;i<len;i++) c[i]=(2*y[i]+p-x[i]*y[i]%p*y[i]%p)%p;ntt(c,-1);
}void solve(LL *a,LL *b,LL k)
{if (k==1){       b[0]=power(a[0],p-2);return;     }LL d=(k+1)/2;solve(a,b,d);   NTT(a,b,b,n,k);for (int i=k;i<len;i++) b[i]=0;
}int main()
{scanf("%lld",&n);for (LL i=0;i<n;i++){scanf("%lld",&f[i]);f[i]%=p;}   solve(f,g,n);for (LL i=0;i<n;i++) printf("%lld ",g[i]);
}

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