2015年国际数学奥林匹克（IMO）试题

2024-05-13 05:25:30

每题7分，共6题

第一天 2015年7月10日

第1题

我们称平面上一个有限点集SS是平衡的，如果SS中任意两个不同的点AA、BB，都存在SS中一点CC，满足AC=BCAC=BC. 我们称SS是无中心的，如果对SS中任意三个不同的店AA、BB、CC，都不存在SS中一点PP，满足PA=PB=PCPA=PB=PC.
(a)证明：对每个整数n≥3n \geq 3，都存在一个由nn个点组成的平衡点集.
(b)确定所有的整数n≥3n \geq 3，使得存在一个由nn个点组成的平衡且无中心的点集.

第2题

确定所有三元正整数组(a,b,c)(a,b,c)，使得

ab−c，bc−a，ca−b

ab-c，bc-a，ca-b
中每个数都是 22的方幂.
22的方幂是指形如 2n2^n的整数，其中 nn是一个非负整数.

第3题

在锐角三角形ABCABC中， AB>ACAB \gt AC，设 Γ\Gamma是它的外接圆， HH是它的垂心，FF是由顶点 AA所引高的垂足，MM是边 BCBC的中点. QQ是Γ\Gamma上一点，使得 ∠HQA=90∘\angle HQA=90^\circ ， KK是Γ\Gamma上一点，使得 ∠HKQ=90∘\angle HKQ=90^\circ. 已知点 AA、BB、 CC、KK、 QQ互不相同，且按此顺序排列在Γ\Gamma上.
证明：三角形 KQHKQH的外接圆和三角形 FKMFKM的外接圆相切.

第二天 2015年7月11日

第4题

在三角形ABCABC中，Ω\Omega是其外接圆，OO是其外心. 以AA为圆心的一个圆Γ\Gamma与线段BCBC交于两点DD和EE，使得点BB、DD、EE、CC互不相同，并且按此顺序排列在直线BCBC上. 设FF和GG是Γ\Gamma和Ω\Omega的两个交点，并且使点AA、FF、BB、CC、GG按此顺序排列在Ω\Omega上. 设KK是三角形BDFBDF的外接圆和线段ABAB的另一个交点. 设LL是三角形CGECGE的外接圆和线段CACA的另一个交点.
假设直线FKFK和GLGL不相同，且相交于点XX.
证明：XX在线段AOAO上.

第5题

设R\mathbb R是全体实数的集合. 求所有的函数f:R→Rf:\mathbb R \to \mathbb R，满足对任意实数xx、yy，都有

f(x+f(x+y))+f(xy)=x+f(x+y)+yf(x).

f(x+f(x+y))+f(xy)=x+f(x+y)+yf(x).

第6题

整数序列a1,a2,⋯a_1, a_2, \cdots满足下列条件：
(i)对每个整数j≥1j \geq 1，有1≤aj≤20151 \leq a_j \leq 2015；
(ii)对任意整数1≤k<l1 \leq k \lt l，有k+ak≠l+alk+a_k \neq l+a_l.
证明：存在正整数bb和正整数NN，使得

∣∣∣∣∑j=m+1n(aj−b)∣∣∣∣≤10072

\left| \sum_{j=m+1}^{n} (a_j-b) \right| \leq {1007}^2
对所有满足 n>m≥Nn \gt m \geq N的整数 mm和nn均成立.

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