第十章第二节二重积分的计算（同济版）

第二节二重积分的计算

一.平面区域的表示——其实就是线性规划

平面区域的表示{X型区域Y型区域平面区域的表示 \left\{ \begin{matrix} X型区域\\ Y型区域 \end{matrix} \right. 平面区域的表示{X型区域Y型区域

1.X区域

D区域可以表示为
{a≤x≤bϕ1(x)≤y≤ϕ2(x)\left\{ \begin{matrix} a\leq x \leq b\\ \phi_1(x) \leq y \leq \phi_2(x) \end{matrix} \right. {a≤x≤bϕ1(x)≤y≤ϕ2(x)

2.Y区域

D区域可以表示为：
{a≤y≤bψ1(y)≤x≤ψ2(y)\left\{ \begin{matrix} a\leq y \leq b\\ \psi_1(y) \leq x \leq \psi_2(y) \end{matrix} \right. {a≤y≤bψ1(y)≤x≤ψ2(y)

注意：

（1）有些时候，我们会犯一个错误，eg:我错误将上面的区域表示成了——
{a≤x≤bA≤y≤B\left\{ \begin{matrix} a\leq x \leq b\\ A\leq y \leq B \end{matrix} \right. {a≤x≤bA≤y≤B
其中，A、B是常数，那么既然我们已经知道了x、y型区域的本质就是线性规划，那么就想一想：

我这个不等式组能不能把我的目的范围给“框住“（把这个作为判断依据），显然上面的错误表达式表示的是一个矩形区域，显然错误。

**（2）**对于不同的区域，对于x、y区域的选择使用十分重要，eg：半圆

**（3）**对于某些复杂区域，我们则需要混合使用x、y——先分割成x、y区域，再逐个表示。

二.利用直角坐标系计算二重积分——截面法

假设有一个曲顶柱体V，我们为了求得其面积，可以有如下思路：

先让x等于一个确定的值，然后z就相当于一个关于y的一元函数，让其在y坐标上进行积分，最后化出来的新的z是一个关于x的的一元函数，可以理解为V被x=x_0所截出来的面积关于x的函数。最后，让这个函数在x上求积分即可求出我们的V。

具体实现

已知底面区域：
{a≤x≤bψ1(x)≤y≤ψ2(x)\left\{ \begin{matrix} a\leq x \leq b\\ \psi_1(x)\leq y \leq \psi_2(x) \end{matrix} \right. {a≤x≤bψ1(x)≤y≤ψ2(x)
那么，令：
x=x0x=x_0 x=x0
所以在取得的截面中：
S(x)=∫ψ1(x0)ψ2(x0)f(x0,y)dyS(x) =\int_{\psi_1(x_0)}^{\psi_2(x_0)}f(x_0,y)dy S(x)=∫ψ1(x0)ψ2(x0)f(x0,y)dy
最后对x进行积分：
V=∬Df(x,y)dσ=∫abS(x)dx=∫ab[∫ψ1(x)ψ2(x)f(x,y)dy]dx=∫abdx∫ψ1(x)ψ2(x)f(x,y)dyV=\iint_Df(x,y)d\sigma = \int_a^bS(x)dx=\int_a^b[\int_{\psi_1(x)}^{\psi_2(x)}f(x,y)dy]dx=\int_a^bdx\int_{\psi_1(x)}^{\psi_2(x)}f(x,y)dy V=∬Df(x,y)dσ=∫abS(x)dx=∫ab[∫ψ1(x)ψ2(x)f(x,y)dy]dx=∫abdx∫ψ1(x)ψ2(x)f(x,y)dy

三.利用极坐标计算二重积分

引入：极坐标面积元素微分形式ds

（归根到底还是无限分割取极限）

极坐标中的面积用ρ和r表示比较容易，所以我们需要研究面积元素与dr与dρ的关系极坐标中的面积用\rho和r表示比较容易，所以我们需要研究面积元素与dr与d\rho的关系极坐标中的面积用ρ和r表示比较容易，所以我们需要研究面积元素与dr与dρ的关系

Δσ=12(ρ+Δρ)2Δθ−12ρ2Δθ=ρΔρΔθ+12(Δρ)2Δθ≈ρΔρΔθ()\Delta \sigma = \frac{1}{2}(\rho+\Delta \rho)^2\Delta\theta-\frac{1}{2}\rho^2\Delta\theta\\=\rho\Delta\rho\Delta\theta+\frac{1}{2}(\Delta\rho)^2\Delta\theta\\ \approx\rho\Delta\rho\Delta\theta()\quad\quad\quad\quad\quad Δσ=21(ρ+Δρ)2Δθ−21ρ2Δθ=ρΔρΔθ+21(Δρ)2Δθ≈ρΔρΔθ()

所以可以得到面积元素：
dσ=ρdρdθd\sigma=\rho d\rho d\theta dσ=ρdρdθ

1.极坐标下的二重积分：

f(x,y)=f(ρcosθ,ρsin⁡θ)∬Df(x,y)dσ=∬Df(ρcosθ,ρsinθ)ρdρσf(x,y)=f(\rho cos\theta,\rho\sin\theta)\\ \iint_Df(x,y)d\sigma=\iint_Df(\rho cos\theta,\rho sin\theta)\rho d\rho\sigma f(x,y)=f(ρcosθ,ρsinθ)∬Df(x,y)dσ=∬Df(ρcosθ,ρsinθ)ρdρσ

2.注意事项：

（1）面积元素中的一个\rho：
dσ=ρdρdθd\sigma=\color{red}\rho \color{black} d\rho d\theta dσ=ρdρdθ
经常会被忘记

（2）我们在**”框“范围的时候**，一定要注意从原点出发，沿着一条射线出发观察，不能受到直角坐标系的影响。

四.补充——求多个柱体围成的区域体积

分为如下几个部分走：

1.画草图；

2.找投影；

3.定区域；

4.列出表达式并计算（一般都是**”什么减去什么的形式“**）