【代数语言学巡礼】Lambda-演算在形式语义学的中应用II

现在我们开始讲述λ\lambdaλ-演算的基础知识,包括PC上的λ\lambdaλ-演算和类型论上的λ\lambdaλ-演算;

λ\lambdaλ-演算

λ\lambdaλ-演算最早是由Church(1941)在(The Calculi of Lambda-Conversion. Princeton University)中提出来的,但却是 Montague(1970)才使得它在自然语言的形式语义学研究发挥重要作用.

我们知道自然语言的语法结构和一阶逻辑结构并非一一对应.通过前面的介绍,我们也已经知道组合原则是形式语义学的基本要求, 否则根本无法对语义进行形式化的研究.然而,Montague之前的生成语义学家(generative semanticists)以及其它的语义学家们都一直无法找到合适的方法使得语义学也符合组合原则.因此,尽管形式化方法在自然语言的语法研究方面取得了很大的进步,在语义学方面却基本是不在场的.这一现象基本持续到Montague(1970).在这篇文章中,Montague在Churuch,Tarski等人工作的基础上,提出了他自己的类型论的内涵逻辑(Montague’s typed intensional logic),并且把λ\lambdaλ-演算应用到各种语义组合问题的分析中.可以说,在Montague把λ\lambdaλ-演算引进到自然语言语义学的研究之前, 是不存在现在广为人知的形式语义学这一学科领域.但是,λ\lambdaλ-演算在自然语言问题中的引进, 却带来了语义学研究的革命,并为形式语义学的形成和发展奠定了基础.由此也可知,lambda-演算在形式语义学中有非常重要的地位.

下面将具体介绍λ\lambdaλ-演算中的几个关键概念和步骤,即λ\lambdaλ-抽象(λ\lambdaλ-abstraction)规则、λ\lambdaλ还原(λ\lambdaλ-reduction 或者说λ\lambdaλ-contraction)以及λ\lambdaλ-转换(\lambda-conversion).这又分为PC上简单的λ\lambdaλ-演算和类型论上的λ\lambdaλ-演算.

PC 上的λ\lambdaλ-演算

简单的λ\lambdaλ-抽象规则

从实质上讲,λ\lambdaλ-抽象一个通过λ\lambdaλ-算子从已给定的谓词或者公式中产生新的复杂谓词的过程.通过增加λ\lambdaλ-抽象规则,PC就可以对表示前面提到的各种词组进行处理.当然,这里的有些词组是需要更复杂的λ\lambdaλ-抽象规则(即用到类型论的抽象规则)才可以表示的.简单的λ\lambdaλ抽象具体如下:

R9:如果 φ∈\varphi \inφ∈Form且vvv是一个变元,那么λv[φ]∈\lambda v[\varphi] \inλv[φ]∈Pred-1.
S9:∥λv[φ]∥M,g\|\lambda v[\varphi]\|^{M, g}∥λv[φ]∥M,g 是集合S,DDD中所有使得 ∥φ∥M,g[d/v]=1\|\varphi\|^{M, g[d/v]}=1∥φ∥M,g[d/v]=1成立的d所组成的集合.

这里的λv[φ]\lambda v[\varphi]λv[φ]也可以读成“the property of being an v such that φ\varphiφ”,即指使得φ\varphiφ成立的那些个体所具有的性质.当λ\lambdaλ-算子作用的辖域非常清楚时,也可以省略[ ]而记作λvφ\lambda v \varphiλvφ .在 Chruch(1941)中,则记为λv.φ\lambda v . \varphiλv.φ;

注意这里的λ\lambdaλ-算子是应用在个体上的,而它对变元的约束方式也类似于全称量词和存在量词.同一个λ\lambdaλ-算子不可以同时约束两个不同的变元,而应该再重新引进新的λ\lambdaλ-算子. 如λxP(x,y)\lambda x {P}(x, y)λxP(x,y)只对xxx进行约束,如想对y{y}y也进行约束,则应该再引入一个λ\lambdaλ-算子,如

λy[λx[P(x,y)]]\lambda y[\lambda x[{P}(x, y)]]λy[λx[P(x,y)]]

例:在下面所有的例子中,我们假定有赋值g(y)=Johng({y})=\text{John}g(y)=John和解释I(b)=Bill,I(m)=MaryI({b})=\text{Bill},I({m})=\text{Mary}I(b)=Bill,I(m)=Mary;

i) ∥λx[run⁡(x)]∥M,g=\|\lambda x[\operatorname{run}(x)]\|^{{M}, {g}}=∥λx[run(x)]∥M,g= 由所有有跑这个动作的个体所组成的集合;
ii) ∥λx[like⁡(x,b)]∥M,g=\|\lambda x[\operatorname{like}(x, {b})]\|^{{M}, {g}}=∥λx[like(x,b)]∥M,g= 由所有喜欢∥b∥M,g[dx](\|{b}\|^{{M}, {g}[{d} x]}(∥b∥M,g[dx]( 即 I(b),{I}({b}),I(b), 即Bill ))) 的个体所组成的集合;
iii) ∥λx[like⁡(x,y)]∥M,g=\| \lambda x[ \operatorname{like} (x, y)] \|^{{M}, {g}}=∥λx[like(x,y)]∥M,g= 由所有喜欢 ∥y∥M,g[dx](\|\boldsymbol{y}\|^{{M}, {g}[{d} x]}(∥y∥M,g[dx]( 即 g(y),{g}(\boldsymbol{y}),g(y), 即John ))) 的个体所组成的集合;
iv) ∥λx[\| \lambda x[∥λx[ fish (x)∧like⁡(x,b)]∥M,g=(x) \land \operatorname{like} (x, {b})] \|^{{M}, {g}}=(x)∧like(x,b)]∥M,g= 由所有喜欢Bill的鱼所组成的集合;
v) 表示 walks and talks": λy[(\lambda y[(λy[( walk (y)∧talk⁡(y))](y) \land \operatorname{talk}(y))](y)∧talk(y))];
**vi)**用与表层语法对应的成分表示“Mary walks and talks”:

λy[(walk⁡(y)∧talk⁡(y))](m)\lambda y[(\operatorname{walk}(y) \land \operatorname{talk}(y))]({m})λy[(walk(y)∧talk(y))](m)

vii) 表示CNP(通名的名词短语)“man who likes Mary”,语法结构如下:

结合CNP与REL(关系从句)的规则:λy[CNP′(y)∧REL′(y)]\lambda y[{CNP}^{\prime}(\boldsymbol{y}) \land {REL}^{\prime}(\boldsymbol{y})]λy[CNP′(y)∧REL′(y)],把上面的语法结构组合地翻译成λ\lambdaλ-演算(自下而上):

λ\lambdaλ-还原和λ\lambdaλ-转换

λ\lambdaλ-还原是指用定义域中的项代人受λ\lambdaλ-算子约束的变元并消去λ\lambdaλ-算子的过程,这是与λ\lambdaλ抽象相对应的概念.例如,从 λv[φ](t)\lambda v[\varphi](t)λv[φ](t)得到φ[t/v]\varphi[t / v]φ[t/v]就是一个λ\lambdaλ-还原过程,是把ttt代入φ\varphiφ中每一个自由的vvv,而这些vvv又受到λ\lambdaλ-算子的约束. 有了λ\lambdaλ-还原我们就可以直接定义λ\lambdaλ-转换(λ\lambdaλ-conversion):

λv[φ](t)↔φ[t/v]\lambda v[\varphi](t) \leftrightarrow \varphi[t/v]λv[φ](t)↔φ[t/v]

其中从左到右是一个λ\lambdaλ-还原的过程,而从右到左是一个λ\lambdaλ-抽象的过程.注意,t必须替换φ\varphiφ中的每一个vvv.根据 λ\lambdaλ-转换,我们有:

λy[(walk⁡(y)∧talk⁡(y))](m)↔(walk⁡(m)∧talk⁡(m))\lambda y[(\operatorname{walk}(y) \land \operatorname{talk}(y))](m) \leftrightarrow(\operatorname{walk}(m) \land \operatorname{talk}(m))λy[(walk(y)∧talk(y))](m)↔(walk(m)∧talk(m))

λy[man⁡(y)∧λz[like⁡(z,m)](y)]↔λy[man⁡(y)∧like⁡(y,m)]\lambda y[\operatorname{man}(y) \land \lambda z[\operatorname{like}(z, m)](y)] \leftrightarrow \lambda y[\operatorname{man}(y) \land \operatorname{like}(y, m)]λy[man(y)∧λz[like(z,m)](y)]↔λy[man(y)∧like(y,m)]

另外,这里所给的个体上的λ\lambdaλ-表达都十分简单,对于复杂的λ\lambdaλ-表达,其演算规则是类
似的.例如:

λx[λy[λz[ϕ(x,y,z)]]](a)(b)(c)↔λy[λz[ϕ(a,y,z)]](b)(c)↔λz[ϕ(a,b,z)](c)↔ϕ(a,b,c)\begin{array}{l} \lambda x[\lambda y[\lambda z[\phi(x, y, z)]]]({a})({b})({c}) \\ \leftrightarrow \lambda y[\lambda z[\phi(a, y, z)]](b)(c) \\ \leftrightarrow \lambda z[\phi(a, b, z)](c) \\ \leftrightarrow \phi(a, b, c) \end{array}λx[λy[λz[ϕ(x,y,z)]]](a)(b)(c)↔λy[λz[ϕ(a,y,z)]](b)(c)↔λz[ϕ(a,b,z)](c)↔ϕ(a,b,c)

需要注意的是,这个式子中的λ\lambdaλ-还原是按从左至右的顺序依次还原的.这也表明“最先经过λ\lambdaλ-抽象得到的λ\lambdaλ-抽象式在对应的λ\lambdaλ-还原中最后得到还原.其原因是最先得到的λ\lambdaλ-抽象式必定是整个逻辑式中内嵌最深的部分,而λ\lambdaλ-还原总是从最外层的λ\lambdaλ-约束式着手.(参考:蒋严,潘海华,2005,p193)这类似于自动机中一个堆栈(stack)的工作情况,即“先进先出,后入后出”.

在介绍Montague的内涵逻辑(IL)之前,让我们先看一下它与PC的儿个主要不同点:

i) IL有更丰富的类型结构.
ii) 表示函数的表达(function-denoting expressions)在IL中起着非常重要的作用.除基本类型eee和ttt以外的所有类型都是函数类型(functional types),IL中除eee和ttt以外的所有表达都指代函数.函数可以不断地进行复合运算,即函数可以是其它函数的变元和函数值.(Functions may serve as the arguments and as the values of other functions. In particular, all relations are also represented as functions.)
iii) IL包含函数的应用(functional application),或者说函数-变元的应用(function-argument application).这在后面的规则中会有具体的例子.
iv) λ\lambdaλ-表达的使用.λ\lambdaλ-算子可以作为构建表示函数的表达的基本工具.
v) 与PC中的一个世界(一个世界或一个模型之间没有什么区别)不同,IL的模型包含一个可能世界集.可能世界在区分内涵和外延中起着重要作用, 且与内涵的类型密切相关.特别是在解释模态算子和指称的模糊性方面,可能世界有重要作用.
vi) IL还包括某种时间结构,这主要用于解释英语中的时态,如在下面描述的过去时态(PAST).

类型和模型结构

类型:

基本类型:e,t{e},{t}e,t;
函数类型:如果aaa和bbb是类型,那么<a,b><{a},{b}><a,b>是一个类型(即一个从类型aaa到类型b{b}b的函数类型)注意,在文献中,<a,b><{a},{b}><a,b>和a→b{a} \rightarrow {b}a→b是等价的标记.
内涵类型:如果aaa是一个类型,那么<s,a><s,a><s,a>是一个类型(一个从可能世界到类型aaa的表达的函数类型);

模型结构:

IL的模型结构:M=<D,W,≤,I>{M}=<{D}, {W},\leq, {I}>M=<D,W,≤,I>.每个模型必须包含如下四个成分:

一个由个体组成的定义域DDD;
可能世界集WWW;
≤:W\leq: W≤:W上的关系(也可以理解成是一个时间关系);
III:对所有常元进行赋值的解释函数

类型aaa的表达(相对于D,W{D},{W}D,W)的可能指示集可以递归地定义如下:

De=D{D}_{e}={D}De=D;
Dt={0,1}{D}_{t}=\{0,1\}Dt={0,1};
D<a,b>={f∣f:Da→Db}{D}_{<a, b>}=\{f \mid f: {D}_{a} \rightarrow {D}_{b}\}D<a,b>={f∣f:Da→Db},即所有从Da{D}_{a}Da到Db{D}_{b}Db函数fff所组成的集合;
D<,a>={f∣f:W→Da}{D}_{<, a>}=\{f \mid f: {W} \rightarrow {D}_{a}\}D<,a>={f∣f:W→Da},即所有从W{W}W到 Da{D}_{a}Da函数fff所组成的集合;

IL的语义解释也使用赋值函数ggg的集合G:{g:G:\{g:G:{g:任何类型的变元→\rightarrow→相应的定义域值}\}}注意:每一个IL的表达都有一个内涵(intension), 内涵是相对应于M{M}M和ggg而言的;相应的外延(extension)则是相对于M,w{M},wM,w和ggg.

原子表达、符号和解释

IL的原子表达是常元和变元;每一种类型中都有无穷的常元和变元.Montague引进了一种定义所给定类型的常元和变元的术语,即ccc和vvv,并在下方标记类型和指标.但是,在实际中,人们一般使用更易于记忆的术语.在这里的约定是这样的:

IL的常元用非斜体的黑体字,它们的名称通常表达从被翻译的英语表达如:man,like,等.IL中的变元用斜体的黑体字.这同前面在PC中的符号语言的使用习惯是一样的.其中的类型约定标记如下:

类型e:w,x,y,z{w}, {x}, {y}, zw,x,y,z,以及所有带有上标或下标的类型
类型<e,t>:P,Q<{e}, {t}>: {P}, {Q}<e,t>:P,Q;
各种关系类型 <e,<e,t>>:R<{e},<{e},{t}>>: {R}<e,<e,t>>:R;
广义量词类型:T{T}T常元由模型中的解释函数III解释,变元由赋值ggg解释,如规则1.

语法规则和它们的模型论语义解释

IL的语法形式是一个递归定义集,即对所有的类型aaa,"类型a的有意义的表达"的集合MEaME_{a}MEa是IL的语法形式.语义则是给每一个语法规则一个解释;注意: 这里同PC{PC}PC一样,其对常元和变元的元语言标记用非斜体的符号.下面是具体的七条语法和相应的语义规则:

原子表达的语法和语义规则

语法规则.1:类型aaa的每一个常元和变元是在MEaME_{a}MEa中的.
语义规则.1:
**(a)**如果α\alphaα是一个常元,那么∥α∥M,w,g=I(α)(w).\|\alpha\|^{{M},w,g}={I}(\alpha)(w).∥α∥M,w,g=I(α)(w).
**(b)**如果α\alphaα是一个变元,那么∥α∥M,w,g=g(α)\|\alpha\|^{{M},w, g}=g(\alpha)∥α∥M,w,g=g(α).

注意:递归的语义规则会在给定的模型、世界和赋值下给出每一个表达的外延.如对∥α∥M,w,g\|\alpha\|^{{M},w,g}∥α∥M,w,g的解释是在MMM,www,和ggg下的,α\alphaα的语义值(外延的);解释函数III给每个常元赋予一个内涵,即一个从可能世界到外延的函数;而把这个表示内涵的函数应用到一个可能世界www上,则得出了相应的外延.

语法规则.2:(逻辑连接词和算子在公式上的应用,这个同PC类似):

如果φ,ψMEt\varphi,\psi {ME}_{t}φ,ψMEt,且uuu任一类型的变元,那么¬φ,φ&ψ,φ∨ψ,φ→ψ,φ↔ψ\neg \varphi,\varphi \& \psi,\varphi \vee \psi,\varphi \rightarrow \psi,\varphi \leftrightarrow \psi¬φ,φ&ψ,φ∨ψ,φ→ψ,φ↔ψ(也写作φ≡ψ\varphi \equiv \psiφ≡ψ),∃uφ,∀uφ,□φ,PAST⁡φ∈MEt\exists u \varphi, \forall u \varphi, \square \varphi, \operatorname{PAST} \varphi \in {ME}_{t}∃uφ,∀uφ,□φ,PASTφ∈MEt;

语义规则.2:
a)¬φ,φ&ψ,φ∨ψ,φ→ψ,φ↔ψ\neg \varphi, \varphi \& \psi, \varphi \vee \psi,\varphi \rightarrow \psi,\varphi \leftrightarrow \psi¬φ,φ&ψ,φ∨ψ,φ→ψ,φ↔ψ,∃uφ,∀uφ\exists u \varphi, \forall u \varphi∃uφ,∀uφ同谓词演算一样;
b)∥□φ∥M,w,g=1\|\square \varphi\|^{{M}, w, g}=1∥□φ∥M,w,g=1当且仅当对所有的w′∈Ww^{\prime} \in {W}w′∈W,有∥φ∥M,w′,g=1\|\varphi\|^{{M}, w^{\prime}, g}=1∥φ∥M,w′,g=1;
c)∥\|∥ PAST φ∥M,w,g=1\varphi \|^{{M}, w, g}=1φ∥M,w,g=1当且仅当存在w′≤ww^{\prime} \leq ww′≤w使得∥φ∥M,w′,g=1\|\varphi\|^{{M}, w^{\prime}, g}=1∥φ∥M,w′,g=1;

语法规则.3:(=):如果α,β∈MEa\alpha, \beta \in {ME}_{a}α,β∈MEa,那么α=β∈MEt\alpha=\beta \in {ME}_{t}α=β∈MEt;

语义规则.3:∥α=β∥M,w,g=1\|\alpha=\beta\|^{{M}, w, g}=1∥α=β∥M,w,g=1当且仅当∥α∥M,w,g=∥β∥M,w,g\|\alpha\|^{{M}, w, g}=\|\beta\|^{{M}, w, g}∥α∥M,w,g=∥β∥M,w,g;

下面这两对规则即4和5是针对"up"和"down"算子的,它们对于内涵的理解是非常关键的,简单说明一下;因为这里不打算深入讨论内涵和外延的区分;

从内涵得到外延的规则

语法规则.4(“uр”-operator):如果α∈MEa\alpha \in {ME}_{a}α∈MEa,那么[∧α]∈ME<s,a>[{}^{\wedge}\alpha] \in {ME}_{<s, a>}[∧α]∈ME<s,a>;
语义规则.4:KaTeX parse error: Expected '}', got 'EOF' at end of input: …pha]\|^{{M,w,g}是类型<s,a><s, a><s,a>的一个函数hhh使得任何w′∈Ww^{\prime} \in {W}w′∈W,有h(w′)=∥α∥M,w′,gh(w^{\prime})=\|\alpha\|^{{M}, w^{\prime}, g}h(w′)=∥α∥M,w′,g;

从外延得到内涵的规则

语法规则.5(“down”-operator):如果α∈ME⟨s,a>\alpha \in {ME}_{\langle s,a>}α∈ME⟨s,a>,那么[∨α]∈MEa\left[{ }^{\vee} \alpha\right] \in {ME}_{a}[∨α]∈MEa;
语义规则.5:∥[∨α]∥M,w,g\|[{ }^{\vee} \alpha]\|^{{M},w,g}∥[∨α]∥M,w,g是∥α∥M,w,g(w)\|\alpha\|^{{M},w,g}(w)∥α∥M,w,g(w);

函数变元应用规则(Function-argument application)

语法规则.6:如果α∈ME<a,b>\alpha \in {ME}_{<a, b>}α∈ME<a,b>且β∈MEa\beta \in {ME}_{a}β∈MEa,那么α(β)∈MEb\alpha(\beta) \in {ME}_{b}α(β)∈MEb;
语义规则.6:∥α(β)∥M,w,g=∥α∥M,w,g(∥β∥M,w,g)\|\alpha(\beta)\|^{{M}, w, g}=\|\alpha\|^{{M}, w, g}(\|\beta\|^{{M}, w, g})∥α(β)∥M,w,g=∥α∥M,w,g(∥β∥M,w,g);

Lambda-抽象规则(Lambda-abstraction)

语法规则.7: 如果 α∈MEa\alpha \in {ME}_{a}α∈MEa且uuu是类型bbb的一个自由变元,那么λu[α]∈ME<b,a>\lambda u[\alpha] \in {ME}_{<b, a>}λu[α]∈ME<b,a>;
语义规则.7:∥λu[α]∥M,w,g\|\lambda u[\alpha]\|^{{M}, w, g}∥λu[α]∥M,w,g是类型b→ab \rightarrow ab→a的一个函数fff使得类型bbb的任一对象ddd,有f(d)=∥α∥M,w,g[d/u]f({~d})=\|\alpha\|^{{M}, w, g[{~d} / u]}f( d)=∥α∥M,w,g[ d/u];

简单的λ\lambdaλ-抽象规则是应用在个体上的.相比较而言,这里的λ\lambdaλ-抽象规则是应用在类型上的,而且可以是任意复杂度的类型,这大大地增强了用λ\lambdaλ-算子构造复杂的谓词的能力.事实上,我们可以看出,λ\lambdaλ-表达式在某种程度上就是一个函数,如λv[α]\lambda v[\alpha]λv[α]就是一个函数,其变元是v,{v},v,而其函数值就是通过v{v}v的值而具体化的α\alphaα表达式;

例如:λx[x2+1]\lambda x\left[x^{2}+1\right]λx[x2+1]表示函数x→x2+1x \rightarrow x^{2}+1x→x2+1;

例如:函数变元应用(Function-argument application):λx[x2+1](5)=26\lambda x\left[x^{2}+1\right](5)=26λx[x2+1](5)=26;

与其它函数符号不同的是,λ\lambdaλ-表达式给出了函数的具体名称,而不仅是某个符号,如f,gf, gf,g;就λ\lambdaλ-转换而言,其规则同简单λ\lambdaλ-演算中的规则是一样的;

参考文献

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[2] Lambda-演算在形式语义学的中应用I.傅庆芳.
[3] Partee, Barbara H. 2007.2007 .2007. Formal Semantics and Current Problems of Semantics.