牛客多校9 B. Two Frogs （概率dp+前缀和优化）

题意：有一个数轴，数轴上有许多点代表荷叶，两只青蛙在1上，要前往n上，两只青蛙每次能在（ i，i+a[i] ]的范围内随机跳跃。求两只青蛙花相同步数跳到n号荷叶上的概率，用998244353取模

思路：设一只青蛙花i步跳到u号荷叶上的概率f[i][u]，通过一只青蛙的概率，可以知道两只青蛙花相同步数跳到n号荷叶的概率res为 $res=\sum_{i=1}^{n}f[i][n]*f[i][n]$ 。故可知状态转移方程为 $f[i+1][j+k]+=a[i]^{-1}*f[i][j] (1<=k<=a[i])$

很明显这个转移方程会将一段数加上同一个值，故可以用前缀和优化

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<vector>
using namespace std;
const int N = 8100, mod = 998244353;
#define int long long
int f[N][N], a[N], get_nv[N];
int qmi(int a) {int b = mod - 2;int res = 1;while (b) {if (b & 1)res = (res * a) % mod;a = (a * a) % mod;b >>= 1;}return res;
}
signed main() {ios::sync_with_stdio(0);int n;cin >> n;for (int i = 1; i < n; i++) {cin >> a[i];if (i + a[i] > n)a[i] = n - i;get_nv[i] = qmi(a[i]);}f[0][1] = 1;f[1][2]+=f[0][1] % mod * get_nv[1] % mod,f[1][1+a[1]+1]-=f[0][1] % mod * get_nv[1] % mod;for (int i = 2; i < n; i++) {for (int j = 1; j <= i + 1; j++) {f[j][i+1]=(f[j][i+1]+f[j][i])%mod;if (f[j][i] == 0)continue;f[j+1][i+1]=(f[j+1][i+1]+f[j][i] % mod * get_nv[i] % mod)%mod,f[j+1][i+a[i]+1]=(f[j+1][i+a[i]+1]-f[j][i] % mod * get_nv[i] % mod)%mod;}}int res = 0;for (int i = 1; i <= n; i++)res = (res % mod + f[i][n] % mod * f[i][n] % mod) % mod;cout << res;
}

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