线性空间

本篇主要内容：

1.线性空间及子空间

2.向量的线性关系

3.基、维数、坐标

4.子空间的交与和

5.子空间的直和

6.线性空间的同构

线性空间的定义与性质

1.线性空间的定义

设V是一个非空集合，F是一个数域，称V为F上的一个线性空间，如果满足以下运算规则：

加法： $V \times V \rightarrow V$

$\left ( \alpha ,\beta \right )\rightarrow \gamma := \alpha +\beta$

$\alpha +\beta =\beta +\alpha$

$\left ( \alpha +\beta \right )+\gamma =\alpha +\left ( \beta +\gamma \right )$

$\alpha +0=\alpha$

$\alpha +\beta =0$

数乘： $F \times V \rightarrow V$

$\left ( k,\alpha \right )\rightarrow \beta := k\alpha$

$\left ( k+l \right )\alpha = k\alpha +l\alpha$

$k\left ( \alpha +\beta \right )= k\alpha +k\beta$

$\left ( kl \right )\alpha =k\left ( l\alpha \right )$

$1\cdot \alpha = \alpha$

其中 $\alpha ,\beta ,\gamma$ 为V的任意元素，k , l为F中的任意数。

举例几个常见的线性空间：

$\left ( i\right ) F^{m\times n}$ : 数域F上的全体m✖️n矩阵关于矩阵的加法与数乘运算构成F上的线性空间。特别地， $F^{m}$ 表示F上的m维列空间或行空间

$\left ( ii \right )F\left [ x \right ]$ : 数域F上的一元多项式环 $F\left [ x \right ]$ 关于多项式的加法及数与多项式的乘法作成的线性空间

$\left ( iii \right )F_{n}\left [ x \right ]$ : 数域F上的一切次数 $\leq$ n 的多项式加上零多项式组成的线性空间

2.线性空间的简单性质

零元，负元唯一

$k\alpha = 0\Leftrightarrow k= 0 \; or \; \alpha =0$

$-\left ( -\alpha \right )= \alpha$

$-\left ( k\alpha \right )=\left ( -k \right )\alpha =k\left ( -\alpha \right )$

$k\left ( \alpha -\beta \right )= k\alpha -k\beta$

$\alpha +\beta = \gamma \Rightarrow \alpha = \gamma -\beta$

向量的线性关系

$V_{F}$ ——F上的线性空间，F为基域

线性组合与线性表示

$\alpha _{i}\in V_{F}, i= 1,2,...,s$ 称 $k_{1}\alpha _{1}+...+k_{s}\alpha _{s}\left ( k_{i}\in F \right )$ 为 $\alpha _{1},...,\alpha_{s}$ 的一个线性组合

$\alpha \in V_{F},\alpha _{1},...,\alpha _{s}\in V_{F}\left ( I \right )$ 称 $\alpha$ 可由 $\left ( I \right )$ 线性表示，如果 $\alpha _{}= k_{1}\alpha _{1}+...+k_{s}\alpha _{s}$

如果向量 $\alpha$ 可由 $\beta _{1},...,\beta _{n}$ 线性表示，而每个 $\beta _{i}$ 又可由 $\alpha _{1},...,\alpha _{n}$ 线性表示，则 $\alpha$ 可由 $\alpha _{1},...,\alpha _{n}$ 线性表示

线性相关与线性无关

$\alpha _{1},...,\alpha _{s}\in V_{F}\left ( I \right )$ 若向量方程 $k_{1}\alpha _{1}+...+k_{s}\alpha _{s}= 0\left ( \ast \right )$ 只有零解，则称向量组 $\left ( I \right )$ 是线性无关的，否则则称 $\left ( I \right )$ 是线性相关的

$F^{n}$ 的m个向量 $\alpha _{i}= \left ( \alpha _{1i},\alpha _{2i},...,\alpha _{ni} \right )^{'}\left ( i= 1,...,m \right )$ 线性相关的充要条件是齐次线性方程组 $AX= 0$ 有非零解，其中 $A= \left ( a_{ij} \right )_{n\times m}$ ，即 $r\left ( A \right )< M$ .特别地，当 $m= n$ 时， $\alpha _{1},...,\alpha _{n}$ 线性相关当且仅当 $\begin{vmatrix} A \end{vmatrix}=0$

将一个线性相关（无关）当向量组任意添加（减少）若干个非零向量所得的新向量组任线性相关（无关）

$\alpha _{1},...,\alpha _{r}$ 线性无关，则 $\beta$ 不能由 $\alpha _{1},...,\alpha _{r}$ 线性表示的充要条件是 $\alpha _{1},...,\alpha _{r},\beta$ 线性无关

$\beta$ 可由 $\alpha _{1},...,\alpha _{r}$ 线性表示，则表示法唯一的充要条件是 $\alpha _{1},...,\alpha _{r}$ 线性无关

设 $A\in F^{m\times n}$ ，则对 $A$ 施行初等行变换不改变 $A$ 的列向量的线性关系（求极大线性无关组）

向量组的等价

称 $\alpha _{1},...,\alpha _{r}\left ( 1 \right )$ 与 $\beta _{1},...,\beta _{s}\left ( 2 \right )$ 等价，若 $\left ( 1 \right )$ 与 $\left ( 2 \right )$ 相互线性表示

等价具有对称、传递、反身性

替换定理：设向量组 $\left ( 1 \right ):\alpha _{1},\alpha _{2},...,\alpha _{r}$ 线性无关，并且可由向量组 $\left ( 2 \right ):\beta _{1},...,\beta _{s}$ 线性表示，则 $\left ( i \right )r\leq s$ $\left ( ii \right )$ 用 $\left ( 1 \right )$ 去替换 $\left ( 2 \right )$ 中的r个向量，必要时重新排序得 $\alpha _{1},...,\alpha _{r},\beta _{r+1},...,\beta _{s}\left ( 3 \right )$ 与 $\left (2 \right )$ 等价

逆否命题：设 $\left ( 1 \right ):\alpha _{1},\alpha _{2},...,\alpha _{r}$ 可由向量组 $\left ( 2 \right ):\beta _{1},...,\beta _{s}$ 线性表示且 $r\geq s$ ，则 $\left ( 1 \right )$ 线性相关

替换定理证明：

当 r = 1 时， $\alpha _{1}=k_{1}\beta _{1}+...+k_{s}\beta _{s}$

不妨设 $k_{1}\neq 0$ ， $\beta _{1}= \frac{1}{k_{1}}\alpha _{1}-\frac{k_{2}}{k_{1}}\beta _{2}-...-\frac{k_{s}}{k_{1}}\beta _{s}$

$\left ( i \right )1\leq s$

$\left ( ii \right )\alpha _{1},\beta _{2},...,\beta _{s}\Leftrightarrow \left ( 2 \right )$

令 r-1 时定理得证

即有 $\left ( i \right )r-1\leq s \left ( ii \right )\alpha _{1},..,\alpha _{r-1},\beta _{r},...,\beta _{s}\left ( 4 \right )\Leftrightarrow \left ( 2 \right )$

$\left ( 1 \right )$ 可由 $\left ( 4 \right )$ 线性表示得 $\alpha _{r}= k_{1}\alpha _{1}+...+k_{r-1}\alpha _{r-1}+k_{r}\beta _{r}+...+k_{s}\beta _{s}(k_{r},...,k_{s}\; not\; all \; zero)$

故 $s\neq r-1\Rightarrow r\leq s$

不妨设 $k_{r}\neq 0$ ， $\beta _{r}$ 可由 $\alpha _{1},..,\alpha _{r},\beta _{r+1},..,\beta _{s} \left ( 3 \right )$ 线性表示

故 $\left ( 3 \right )\Leftrightarrow \left ( 4 \right )\Leftrightarrow \left ( 2 \right )$

推论 1 : 向量个数多的向量组可由向量个数少的向量组线性表示，则前者必线性相关

2 : n+1个n元向量组必线性相关

极大线性无关组

向量组 $\alpha _{1},...,\alpha _{r}$ 中的部分向量组 $\beta _{1},...,\beta _{s}$ 称为一个极大线性无关组，如果 $\left ( i \right )\beta _{1},...,\beta _{s}$ 线性无关 $\left ( ii \right )\alpha _{1},...,\alpha _{r}$ 中的任一向量都可由 $\beta _{1},...,\beta _{s}$ 线性表示

一个向量组的极大线性无关组所含向量的个数称为该向量组的秩

等价的向量组必等秩；反之不真

设两个向量组 $\alpha _{1},...,\alpha _{s}$ 和 $\beta _{1},...,\beta _{t}$ 的秩都为r，并且 $\alpha _{1},...,\alpha _{s}$ 可由 $\beta _{1},...,\beta _{t}$ 线性表示，则这两个向量组等价

如何求极大线性无关组

例：在 $F^{4}$ 中，求向量组 $\alpha _{1}= \left ( 1,0,-1,1 \right ),\alpha _{2}= \left ( 2,1,-2,0 \right ), \alpha _{3}= \left ( -2,-1,0,1 \right ),\alpha _{4}= \left ( 0,-1,2,1 \right )$ 的一个极大线性无关组，并用之表示其余向量

解：以 $\alpha _{1},\alpha _{2},\alpha _{3},\alpha _{4}$ 为列作矩阵

$A= \begin{pmatrix} 1 & 2 & -2 &0 \\ 0&1 &-1 &-1 \\ -1&-2 &0 &2 \\ 1&0 &1 &1 \end{pmatrix}$

对A施行初等行变换

$A\rightarrow \begin{pmatrix} 1 & 2 & -2&0 \\ 0& 1& -1 & -1\\ 0& 0 & -2&2 \\ 0& -2 & 3 & 1 \end{pmatrix}\rightarrow \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 2\\ 0 & 1 & -1& -1\\ 0& 0& -2 & 2\\ 0& 0& 1& -1 \end{pmatrix}\rightarrow \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 2\\ 0& 1 & 0 & -2\\ 0& 0& 1&-1 \\ 0& 0& 0& 0 \end{pmatrix}$

于是 $\alpha _{1},\alpha _{2},\alpha _{3}$ 就是所求的一个极大线性无关组，并且 $\alpha _{4}= 2\alpha _{1}-2\alpha _{2}-\alpha _{3}$

基、维数与坐标

数域 $F$ 上的线性空间 $V$ 中向量组 $\alpha _{1},...,\alpha _{n}$ 称为 $V$ 的一个基，如果

$\left ( 1 \right )\alpha _{1},...,\alpha _{n}$ 线性无关

$\left ( 2 \right )\forall \alpha \in V,\alpha$ 可由 $\alpha _{1},...,\alpha _{n}$ 线性表示

注：线性空间 $V$ 的一个基实际上就是 $V$ 中全体向量的一个极大线性无关组

基向量是有序的

基不唯一，基所含向量个数唯一

扩充基定理： $\alpha _{1},...,\alpha _{r}\left ( 1 \right )$ 是 $V^{F}$ 的一组线性无关的向量， $\beta _{1},...,\beta _{n}\left ( 2 \right )$ 是 $V^{F}$ 的一个基，

则 $\left ( 1 \right )$ 可扩充为 $V^{F}$ 的一个基 $\alpha _{1},...,\alpha _{r},\beta _{r+1},...,\beta _{n}\left ( 3 \right )$

设 $V$ 是数域 $F$ 上的n维线性空间， $\alpha _{1},...,\alpha _{n}$ 为 $V$ 的一个基，对 $\forall \alpha \in V$ 有 $\alpha = k_{1}\alpha _{1}+k_{2}\alpha _{2}+...+k_{n}\alpha _{n}$ ，称 $\left ( k_{1},k_{2},...,k_{n} \right )$ 为 $\alpha$ 在 $\alpha _{1},...,\alpha _{n}$ 下的坐标，其中 $k_{i}\in F,\; i= 1,...,n$

求向量关于基的坐标：设 $\alpha _{1},...,\alpha _{n}$ 是 $F^{n}$ 的一个基， $\beta \in F^{n}$ ， $A= \left ( \alpha_{1},...,\alpha _{n},\beta \right )\rightarrow \left ( I_{n},\alpha \right )$ ，则 $\alpha$ 是 $\beta$ 关于 $\alpha _{1},...,\alpha _{n}$ 的坐标

基变换与坐标变换

设 $\alpha _{1},...,\alpha _{n}$ 与 $\beta _{1},...,\beta _{n}$ 是n维线性空间 $V$ 的两个基，并且有

$\left\{\begin{matrix} \beta _{1}= & a_{11}\alpha _{1}+ a_{21}\alpha _{2} +...+a_{n1}\alpha _{n} & \\ \beta _{2}= & a_{12}\alpha _{1}+ a_{22}\alpha _{2} +...+a_{n2}\alpha _{n} & \\ ......\\ \beta _{n}= & a_{1n}\alpha _{1}+ a_{2n}\alpha _{2} +...+a_{nn}\alpha _{n} & \end{matrix}\right.$

形式上记为 $\left ( \beta _{1},\beta _{2},...,\beta _{n} \right )= \left ( \alpha_{1},\alpha _{2},...,\alpha _{n} \right )A$

则称 $A$ 为由 $\alpha _{1},...,\alpha _{n}$ 到基 $\beta _{1},...,\beta _{n}$ 的过渡矩阵

基到基的过渡矩阵可逆

过渡矩阵求法 $A= \left ( \alpha _{1},...,\alpha _{n},\beta _{1},...,\beta _{n} \right )\rightarrow \left ( I_{n},T \right )$ ， $T$ 即为所求

子空间及其交与和

子空间

设 $W$ 是数域 $F$ 上线性空间 $V$ 的一个非空子集，如果 $W$ 对于 $V$ 的加法与数乘也构成 $F$ 上的线性空间，则称 $W$ 为 $V$ 的一个子空间

$V,\left \{ 0 \right \}$ 称为 $V$ 的平凡子空间，其余子空间称为真子空间

$V$ 是 $F$ 上的一个线性空间， $\varnothing \neq W\subseteq V$ ，

$W$ 是 $V$ 的子空间 $\Leftrightarrow \forall \alpha,\beta \in W,k,l\in F,k\alpha +l\beta\in W$

定理 $W\subseteq V^{F},dimW= dimV^{F}\Rightarrow W= V^{F}$

生成子空间

$L\left ( \alpha _{1},...,\alpha _{r} \right )= \left \{ k_{1}\alpha _{1}+...+k_{r}\alpha _{r}\mid k_{i}\in F \right \}$

每个 $\alpha _{i}$ 称为生成元

$L\left ( \alpha _{1},...,\alpha _{r} \right )$ 是 $V^{F}$ 中包含 $\alpha _{1} ,...,\alpha _{r}$ 的最小的子空间（线性包）

$dimL\left ( \alpha _{1},...,\alpha _{r} \right )$ 为 $\alpha _{1} ,...,\alpha _{r}$ 的秩 $\mid \alpha _{1},...,\alpha _{r}$ 的一个极大线性无关组是 $L\left ( \alpha _{1},...,\alpha _{r} \right )$ 的一个基

$L\left ( \alpha _{1},...,\alpha _{r} \right )= L\left ( \beta _{1},...,\beta _{t} \right )\Leftrightarrow \alpha _{1},...,\alpha _{r}$ 与 $\beta _{1},...,\beta _{t}$ 等价

子空间的交与和

子空间的交：设 $V_{1},V_{2}$ 是 $V^{F}$ 的子空间

$\left ( 1 \right )V_{1}\cap V_{2}$ 是 $V^{F}$ 的子空间

$\left ( 2 \right )V_{1}\cup V_{2}$ $V^{F}$ 的子空间 $\Leftrightarrow V_{1}\subseteq V_{2}\; or\; V_{2}\subseteq V_{1}$

证明： $\Rightarrow :$ 若 $V_{1}\cup V_{2}$ 是 $V$ 的子空间，对 $\forall \alpha _{1}\in V_{1},\alpha _{2}\in V_{2}$ ，有 $\alpha _{1}+\alpha _{2}\in V_{1}\cup V_{2}$ ，

则 $\exists \alpha \in V_{1}\; s.t. \; \alpha _{1}+\alpha _{2}= \alpha$

$\alpha _{2}= \alpha -\alpha _{1}\in V_{1}$ 则 $V_{2}\subseteq V_{1}$

$\Leftarrow :$ 若 $V_{1}\subseteq V_{2}$ ,对 $\forall \alpha _{1},\alpha _{2}\in V_{1}\cup V_{2}\subset V_{2}$

$\alpha _{1}+\alpha _{2}\in V_{2}\subset V_{1}\cup V_{2}$

所以 $V_{1}\cup V_{2}$ 是 $V$ 的子空间

子空间的和： $V_{1}+V_{2}=\left \{ \alpha _{1}+\alpha _{2}\mid \alpha _{1}\in V_{1},\alpha _{2}\in V_{2} \right \}$ 是 $V^{F}$ 的子空间

证明： $\forall \alpha ,\beta \in V_{1}+V_{2} \; \; \alpha = \alpha _{1}+\alpha _{2}, \beta = \beta _{1}+\beta _{2} \; \: where\; \alpha _{1},\beta _{1}\in V_{1}\; \alpha _{2},\beta _{2}\in V_{2}$

$k\alpha +\beta = \left ( k\alpha _{1}+\beta _{1} \right )+\left ( k\alpha _{2}+\beta _{2} \right )\in V_{1}+V_{2}$

性质1： $V_{1}= L\left ( \alpha _{1},...,\alpha _{r} \right )\; \; V_{2}= \left ( \beta _{1},...,\beta _{t} \right )$

则 $V_{1}+V_{2}= L\left ( \alpha _{1},...,\alpha _{r},\beta _{1},...,\beta _{t} \right )$

性质2： $V^{F}$ 中包含 $V_{1}$ 与 $V_{2}$ 的最小子空间是 $V_{1}+V_{2}$

子空间的和是子空间，但子空间的并未必是子空间。

XOY平面——二维线性空间， $V_{1}$ 是x轴， $V_{2}$ 是y轴

子空间的和——XOY平面子空间的并——x轴与y轴两条直线

子空间的维数公式： $dim\left ( V_{1}+V_{2} \right )= dimV_{1}+dimV_{2}-dim\left ( V_{1}\cap V_{2} \right )$

证明： $V_{1}\cap V_{2}:\alpha _{1},...,\alpha _{r}\left ( 1 \right )$

$V_{1}:\alpha _{1},...,\alpha _{r},\beta _{1},...,\beta _{t}\left ( 2 \right )$

$V_{2}: \alpha _{1},...,\alpha _{r},\gamma _{1},...,\gamma _{s}\left ( 3 \right )$

令 $k_{1}\alpha _{1}+...+k_{r}\alpha _{r}+l_{1}\beta _{1}+...+l_{t}\beta _{t}+p_{1}\gamma _{1}+...+p_{s}\gamma _{s}= 0$

$V_{1}\ni$ $k_{1}\alpha _{1}+...+k_{r}\alpha _{r}+l_{1}\beta _{1}+...+l_{t}\beta _{t}= -p_{1}\gamma _{1}-...-p_{s}\gamma _{s}\left ( \ast \right )$ $\in V_{2}$

记 $p_{1}\gamma _{1}+...+p_{s}\gamma _{s}$ 为 $P$

$P\in V_{1}\cap V_{2}$ $P= m_{1}\alpha _{1}+...+m_{r}\alpha _{r}$

$p_{1}\gamma _{1}+...+p_{s}\gamma _{s}+m_{1}\alpha _{1}+...+m_{r}\alpha _{r}= 0$

得 $p_{1},...,p_{s}$ 全为0，代入 $\left ( \ast \right )$ $k_{1},...,k_{r},l_{1},...,l_{t}$ 全为0

子空间的直和： $W= V_{1}+V_{2}$ 是 $V^{F}$ 的和，若 $W$ 的每一个向量的表示唯一，则称 $W$ 为 $V_{1}$ 和 $V_{2}$ 的直和，记为 $V^{F}= V_{1}\oplus V_{2}$

定理：（如下图）

$V_{1},V_{2}$ 是 $V^{F}$ 的子空间，则以下几条等价 $V_{i}$ 是 $V^{F}$ 的子空间 $\left ( i= 1,2,...,s \right )$ ，则以下几条等价

零向量表示唯一零向量表示唯一

$V_{1}\cap V_{2}= \left \{ 0 \right \}$ $V_{i}\cap \left ( \sum_{i\neq j}^{} V_{j}\right )= \left \{ 0 \right \}$

$dim\left ( V_{1}+V_{2} \right )= dimV_{1}+dimV_{2}$ $dim(V_{1}+...+V_{s})= dimV_{1}+...+dimV_{s}$

$V_{1}+V_{2}$ 是直和 $V_{1}+...+V_{s}$ 是直和

余子空间： $V= V_{1}\oplus V_{2}$ 称 $V_{2}$ 为 $V_{1}$ 的余子空间

余子空间存在但不唯一

线性空间的同构

$V^{F}\cong W^{F}\Leftrightarrow$ $\left ( 1 \right )\sigma$ 是 $V^{F}\rightarrow W^{F}$ 的双射

$\left ( 2 \right )\sigma \left ( k\alpha +\beta \right )= k\sigma\left ( \alpha \right )+\sigma \left ( \beta \right )$

性质：

$\sigma \left ( 0 \right )= 0$

$\sigma \left ( k_{1}\alpha _{1}+...+k_{s}\alpha _{s} \right )= 0\Leftrightarrow k_{1}\sigma \left ( \alpha _{1} \right )+...+k_{s}\sigma \left ( \alpha _{s} \right )= 0$

$\alpha _{1},...,\alpha _{n}$ 是 $V^{F}$ 的一个基 $\Leftrightarrow \sigma \left ( \alpha _{1} \right ),...,\sigma \left ( \alpha _{n} \right )$ 是 $V^{F}$ 的一个基

$\sigma \left ( V^{F} \right )= \left \{ \sigma \left ( \alpha \right ) \mid \alpha \in V^{F}\right \}$ 是 $V^{F}$ 的子空间

$dimV^{F}= n,V^{F}\cong F^{n},\varphi :\alpha \overset{\alpha _{1},...,\alpha _{n}}{\rightarrow}\left ( x_{1},...,x_{n} \right )^{'}$ $F$ 上任意两个n维线性空间都同构进一步：两个有限维线性空间同构 $\Leftrightarrow$ 维数相等

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