常微分齐次方程的规范化通解

一阶齐次微分方程：
y′−ay=0y\prime-ay=0y′−ay=0

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(lny)′=a(lny)\prime=a(lny)′=a

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lny=ax+clny=ax+clny=ax+c

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y=ceaxy=ce^{ax}y=ceax
基础解为：eλxe^{λx}eλx

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二阶齐次微分方程：
y′′−ay′−by=0y\prime\prime-ay\prime-by=0y′′−ay′−by=0
特征根方程：
λ2−aλ−by=0λ^2-aλ-by=0λ2−aλ−by=0
得到两个解：λ1,λ2λ_1,λ_2λ1,λ2
方程的解有三种可能：

二重解： λ1≠λ2λ_1≠λ_2λ1=λ2 Y(x)=c1eλ1x+c2eλ2Y(x)=c1e^{λ1x}+c2e{λ_2}Y(x)=c1eλ1x+c2eλ2
两个不同的实数解： λ1=λ2λ_1=λ_2λ1=λ2 Y(x)=c1eλ1x+c2xeλ2Y(x)=c1e^{λ1x}+c2xe{λ_2}Y(x)=c1eλ1x+c2xeλ2
一对共轭复解： λ1,2=α±iβλ_{1,2}=α±iβλ1,2=α±iβ Y(x)=eα±iβY(x)=e^{α±iβ}Y(x)=eα±iβ

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n阶齐次微分方程

列出特征根方程：
y(n)−λ1y(n−1)−......−λny=0y^{(n)}-λ1y^{(n-1)}-......-λ_ny=0y(n)−λ1y(n−1)−......−λny=0
得到n个解
这n个解有四种情况：
一重解: CerxCe^{rx}Cerx
k重解： eαx(C1cosβx+C2sinβx)e^{αx}(C1cosβx+C2sinβx)eαx(C1cosβx+C2sinβx)
一对1重共轭复解： eαx(C1cosβx+C2sinβx)e^{αx}(C1cosβx+C2sinβx)eαx(C1cosβx+C2sinβx)
一对k重共轭复解： eαx[(C1+C2+...+Ckxk−1)cosβx+(D1+D2+...+Dkxk−1)sinβx]e^{αx}[(C1+C2+...+C_kx^{k-1})cosβx+(D1+D2+...+D_kx^{k-1})sinβx]eαx[(C1+C2+...+Ckxk−1)cosβx+(D1+D2+...+Dkxk−1)sinβx]

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