空间杜宾模型SPDM

T个周期，N个地区，K个解释变量。

1.基准面板回归模型

$\begin{equation} \begin{aligned} y&=c+\beta_1x_1+\sum_{k=2}^{K}\beta_kx_k+\varepsilon\\ Y&=l_nc+X\beta+\varepsilon \end{aligned} \end{equation}$

其中,x1为核心的解释变量，其余为控制变量。

2.空间面板滞后模型SPLM

$Y=l_nc+\rho WY+X\beta+\varepsilon$

其中，W为n*n阶距离矩阵， $\rho$ 为空间滞后系数。揭示了邻近地区Y值对本地区Y值的影响效应。

3.空间面板杜宾模型SPDM

$\begin{equation} \begin{aligned} Y&=l_nc+\rho WY+X\beta+WX\theta+\varepsilon\\ (I_n-\rho W)Y&=l_nc+X\beta+WX\theta+\varepsilon\\ Y&=(I_n-\rho W)^{-1}l_nc+(I_n-\rho W)^{-1}(X\beta+WX\theta)+\varepsilon \end{aligned} \end{equation}$

其中， $\theta$ 是长度为K的向量，代表K个解释变量的空间滞后系数。揭示了领近地区X值对本地区Y值的影响效应。

Lesage(2009)指出空间溢出效应研究无法通过SPDM模型估计系数真实反映，要进一步采用偏微分方程来度量。

$\begin{bmatrix} y_1\\ \vdots \\ y_n \end{bmatrix}-\rho\begin{bmatrix} w_{11} &... &w_{1n} \\ \vdots & &\vdots \\ w_{n1}&... &w_{nn} \end{bmatrix}\begin{bmatrix} y_1\\ \vdots\\ y_n \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} c_1\\ \vdots\\ c_n \end{bmatrix}+\begin{bmatrix} x_{11} &... &x_{1k} \\ \vdots & &\vdots \\ x_{n1}&... &x_{nk} \end{bmatrix}\begin{bmatrix} \beta_1\\ \vdots\\ \beta_k \end{bmatrix}+\begin{bmatrix} w_{11} &... &w_{1n} \\ \vdots & &\vdots \\ w_{n1}&... &w_{nn} \end{bmatrix}\begin{bmatrix} x_{11} &... &x_{1k} \\ \vdots & &\vdots \\ x_{n1}&... &x_{nk} \end{bmatrix}\begin{bmatrix} \theta_1\\\vdots\\ \theta_k \end{bmatrix}+\begin{bmatrix} \varepsilon _1\\ \vdots\\ \varepsilon _n \end{bmatrix}$

(每次都要写的清清楚楚明明白白我才会算矩阵的偏微分...)

考虑解释变量 $x_k$ 对被解释变量 $y$ 的影响效应，计算如下。

$\frac{\partial Y}{\partial x_{1k}}=\begin{bmatrix} \frac{\partial y_1}{\partial x_{1k}}\\ \vdots \\ \frac{\partial y_n}{\partial x_{1k}} \end{bmatrix}=(I_n-\rho W)^{-1}\begin{bmatrix} \beta_k+w_{11}\theta_k\\ w_{21}\theta_k\\\vdots \\ w_{n1}\theta_k \end{bmatrix}$ ，其中w11=0

式(14)对角线元素为 $x_k$ 对 $y$ 的直接效应，非对角线元素为为 $x_k$ 对 $y$ 的间接效应（溢出效应），总效应=直接效应+间接效应。

式(14)每一行反映了地区i受到本地区 $x_k$ 的直接影响和其他地区 $x_k$ 的间接影响情况。每一列反映了

地区i的 $x_k$ 对本地区 $y$ 的直接影响和对其他地区 $y$ 的间接影响情况。